第15讲 导数与函数的单调性（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

PAGE1/NUMPAGES

PAGE1/NUMPAGES12

第15讲导数与函数的单调性（精讲）

题型目录一览

①导数与原函数图像之间的联系

②不含参数的函数单调性

③含参数的函数单调性

一次函数型

二次函数型Ⅰ（可因式分解）

二次函数型Ⅱ（不可因式分解）

指数函数型

④函数单调性中的参数值（范围）问题

★【文末附录-导数与函数的单调性思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、单调性基础问题

1．函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

2．已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；

（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

（5）导数图像定区间；

【常用结论】

①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

单调递增；单调递增；

二、题型分类精讲单调递减；单调递减.

二、题型分类精讲

题型一导数与原函数图像之间的联系

策略方法

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.

【典例1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（????）

A．B．C． D．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（????）

A．B．C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（????）

A．B．C． D．

3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．在区间内有个极值点

D．的图象在点处的切线的斜率大于

三、填空题

5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.

6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.

题型二不含参数的函数单调性

策略方法求函数单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求f′(x)．

(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区