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探究课1集合中元素的个数与容斥原理第一章集合与常用逻辑用语在计数时,要保证无一重复,无一遗漏,这种计数的方法称为容斥原理.(1)两个集合的容斥原理用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如:A={a,b,c},则card(A)=3.一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所示:知识提炼(2)三个集合的容斥原理一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示:【典例】(1)为丰富学生的课外活动,学校开展了丰富的选修课,参与“数学建模选修课”的有169人,参与“语文素养选修课”的有158人,参与“国际视野选修课”的有145人,三项选修课都参与的有30人,三项选修课都没有参与的有20人,全校共有400人,则只参与两项活动的同学的人数为()A.30B.31C.32D.33典例探究√(2)某学校举办了第60届运动会,其间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”.数学组教师除5人出差外,其余都参与活动,其中有18人参加了“你追我赶”,20人参加了“携手共进”,同时参加两个项目的人数不少于8,则数学组教师人数至多为()A.36B.35C.34D.33√(1)C(2)B[(1)画出Venn图如图:设:只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人,只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人,只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人,则139+128+115+30-(x+y+z)+20=400,x+y+z=32.(2)如图所示,设两种项目都参加的有x人,“你追我赶”为集合A,“携手共进”为集合B,则数学组共有5+18-x+x+20-x=43-x(x≥8)人,显然43-x≤35人.故选B.]1.某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字,文化传承展风采”书法大赛,高一(1)班共有32名同学提交了作品进行参赛,有20人提交了楷书作品,有12人提交了隶书作品,有8人提交了行书作品,同时提交楷书作品和隶书作品的有4人,同时提交楷书作品和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品,则同时提交隶书作品和行书作品的有()A.4人B.3人C.2人D.1人对点训练√C[根据题意,画出Venn图,如图所示,设同时提交隶书作品和行书作品的有x人,则20+12+8-32=2+4+x,解得x=2,即同时提交隶书作品和行书作品的有2人.故选C.]2.某班参加数学、物理、化学竞赛时,有24名学生参加数学竞赛,28名学生参加物理竞赛,19名学生参加化学竞赛,其中三科竞赛都参加的有7名,只参加数学、物理两科的有5名,只参加物理、化学两科的有3名,只参加数学、化学两科的有4名,若该班共有50名学生,则只参加数学竞赛的学生有_____名;没有参加任何一科竞赛的学生有____名.58
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