《离散数学》课件 第1章 集合.ppt

集族性质(1)(2)的证明(1)对于任意的x，x?∪A??A(A?A?x?A)??A(A?B?x?A)(已知A?B)?x?∪B所以，∪A?∪B。(2)若A?B，由广义并集定义可知A?B。*集族性质(3)的证明(3)由A??，知B??，故∩A与∩B均有意义。对于任意的x，x?∩B??y(y?B?x?y)??y(y?A?x?y)(A?B)?x?∩A所以，∩B?∩A。?*例1.9集合幂集运算具有下列性质：(1)A?B当且仅当P(A)?P(B)；(2)P(A-B)?(P(A)-P(B))?{?}。*幂集性质(1)的证明(1)先证必要性。对于任意的x，x?P(A)?x?A?x?B(A?B)?x?P(B)，故有P(A)?P(B)。再证充分性。对于任意的y，y?A?{y}?P(A)?{y}?P(B)(P(A)?P(B))?y?B所以，A?B。*幂集性质(2)的证明对于任意的集合x，若x=?，x?P(A)?P(B)且x?(P(A)-P(B))?{?}。若x??，x?P(A-B)?x?A-B?x?A?x?B?x?P(A)?x?P(B)?x?(P(A)-P(B))综上所述，可知P(A-B)?(P(A)-P(B))?{?}。*小结(1)集合恒等式13组最基本的集合恒等式(2)半形式化方法推导集合等式和包含式***单元1.5集合的运算第一编集合论第一章集合1.3集合的运算内容提要集合的运算文氏图容斥原理*并集定义1.8设A,B为二集合，称由A和B的所有元素组成的集合为A与B的并集，记作A?B，称?为并元算符，A?B的描述法表示为A?B={x|x?A?x?B}。集合的并运算可以推广到有限个或可数个集合(初级并)。设A1,A2,…,An为n个集合，A1,A2,…,An,…为可数个集合，则*并集的例子设A={x?N|5?x?10}，B={x?N|x?10?为素数}，则A?B={2,3,5,6,7,8,9,10}。(2)设An={x?R|n-1?x?n}，n=1,2,…,10，则(3)设An={x?R|0?x?1/n}，n=1,2,…，则*交集定义1.9设A,B为二集合，称由A和B的公共元素组成的集合为A与B的交集，记作A?B，称?为并元算符，A?B的描述法表示为A?B={x|x?A?x?B}。集合的交运算可以推广到有限个或可数个集合(初级交)。设A1,A2,…,An,…为可数个集合，则*交集的例子(1)设A={x?N|x为奇数?0?x?20}，B={x?N|x为素数?0?x?20}，则A?B={3,5,7,11,13,17,19}。(2)设An={x?R|0?x?n}，n=1,2,…，则*不相交定义1.10设A,B为二集合，若A?B=?，则称A和B是不交的。设A1,A2,…是可数多个集合,若对于任意的i?j，都有Ai?Aj=?，则称A1,A2,…是互不相交的。设An={x?R|n-1xn}，n=1,2,…，则A1,A2,…是互不相交的。*相对补集定义1.11设A,B为二集合，称属于A而不属于B的全体元素组成的集合为B对A的相对补集，记作A-B。A-B的描述法表示为A-B={x|x?A?x?B}。*对称差定义1.12设A,B为二集合，称属于A而不属于B，或属于B而不属于A的全体元素组成的集合为A与B的对称差，记作A?B。A?B的描述法表示为A?B={x|(x?A?x?B)?(x?A?x?B)}容易看出A?B=(A-B)?(B-A)=(A?B)-(A?B)*绝对补集定义1.13设E为全集，A?E，称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作~A。~A的描述法表示为~A={x|x?E?x?A}。因为E是全集，所以x?E是真命题，于是~A={x|x?A}。