函数与方程思想.ppt

函数与方程的思想——数学思想与数学思维专题系列讲座之一高考热点评析 函数是描述量与量之间的一种关系，函数思想就是用运动、变化的观点，分析和研究现实为题中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及其制约关系建立函数式，然后运用有关的函数知识，解决所研究的问题。由于函数y=f(x)可以看作是方程y-f(x)=0，因此函数与方程有必然的联系。在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式等常常相互转化。近年来，函数与方程的思想可以说是高考中必考的内容。解题方法与技巧例析

例1当a、b分别为何值时,函数的最大值是9,最小值是1?本题的已知是以最值的形式给出的,但实质上是已知了一个不等式1≤y≤9,但最终是要确定a,b,因此要把所给函数的不等式转化为方程组的形式.解题方法与技巧例析例2k为何值时,方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个根分别在开区间(0,1),(1,2)内.如果按求根公式解,其运算量是很大的,因此,需将所研究的问题进行转化,由二次函数的图形特征可知,开口向上的抛物线与x轴的两个焦点的横坐标x1,x2在(0,1),(1,2)内,可以得到有关的不等式,从而求得k的范围.解题方法与技巧例析例3设a、b是正数,且a+b=1,求证:解题方法与技巧例析例4解题方法与技巧例析例5设对于任意实数x,不等式以上几题的条件或结论都呈不等式的形式,其解题策略是：转化为函数或方程的形式,或者两者的结合，然后运用函数的思想，方程的思想来求解，转化方式的选择是依据已知或结论的形式特征或者所解决问题“隐含”的函数与方程的特性。解题方法与技巧例析

例6已知方程x2-2asin(cosx)+a2有唯一解，求a的值。解题方法与技巧例析例7证明不等式解题方法与技巧例析例8设αβ∈[0，]，且6sin3α-β解题方法与技巧例析例9设|x|1,|y|1,|z|1,求证：xy+yz+zx+1=(y+z)x+yz+10小结例6至例充分运用函数的值域、奇偶性、单调性等性质，解决了一些等式、不等式、求值等问题，可以看出，灵活运用函数的性质可使解题过程简捷明了。例6、例8的解题过程较为简单，转化过程有一定的灵活性，学习过程中，要善于发掘题目的内在条件，观察分析其结构特征，是实现问题转化的重要途径。******分析分析:这个不等式可用三角代换,综合法等方法证明,但证明过程都比较烦琐.从左边的结构特征看,两项互为倒数,因此联想试用这一函数的性质来证明.分析:本题初看上去一筹莫展,无从下手,但从变量来看,此题涉及了a,b两个变量,变量b的指数比较复杂,而变量a的最高次数为2次,且不等式左边是关于a的二次三项式的形式,因此,可试用一元二次函数的性质来研究这个问题.分析都成立,求实数a的取值范围.本题如果从不等式的角度思考,问题显得复杂,如果从二次函数与二次不等式的性质来研这个问题,可降低思维的难度，从系数和常数项可以看出,真数位置均可化为分析分析：这个方程即不是代数方程，也不是三角方程，而是这两者皆有的一个特殊方程，用常规的方法显然是不能求出a的值，因此，需转化解题方式，试用函数的思想来研究这个问题。分析：本题的证法较多，但需分类讨论，如果从函数的角度来考虑，问题会变得简单。一个方程两个未知数，如何求解？如果按倍角公式展开，产生高次方程不能求解，从数字特征分析，结合三角函数的值域，可找到解题思路。分析：从绝对值不等式的角度证明难于进行，如果从函数的角度来研究问题，可选择某一个变量为主变量，另外两个变量作为参数，然后根据其所给的范围，来证明这个不等式。分析：