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计算题增分练(四)

(时间：35分钟)

1.(2023·河南周口高三期末)如图1所示，一个导热性良好的瓶子中装有氮气，紧挨瓶口处有一个厚度和质量均不计、横截面积为2×10－4m2的塞子，塞子与瓶子之间的最大静摩擦力为2N，瓶中气体的压强为1×105Pa，温度为27℃。现对瓶子加热一段时间后，塞子被顶开，瓶内压强立即与大气相同，随后立即塞好塞子(设塞子塞好后瓶内气体的温度与被顶开前的温度相同)。已知外界大气压恒为1×105Pa，求：

图1

(1)塞子被顶开时，瓶中气体的温度；

(2)瓶中所剩氮气的质量与原有氮气的质量之比。

答案(1)330K(2)10∶11

解析(1)已知p1＝1×105Pa，T1＝300K，塞子将要被顶开时，对塞子进行受力分析有

p2＝p1＋eq\f(Ff,S)＝1.1×105Pa

从对瓶子加热到塞子被顶开过程中气体做等容变化，

根据查理定律有eq\f(p1,T1)＝eq\f(p2,T2)

解得塞子被顶开时瓶中气体的温度T2＝330K。

(2)设加热前瓶中气体体积为V1，塞子被顶开后，瓶内气体的压强等于p1，

设此时瓶内气体和溢出气体的总体积为V2

由盖－吕萨克定律，有eq\f(V1,T1)＝eq\f(V2,T2)

瓶中所剩氮气的质量与原有氮气的质量之比

m1∶m2＝V1∶V2

解得m1∶m2＝10∶11。

2.(2023·辽宁沈阳一模)如图2所示，半径R＝1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ＝37°，另一端点C为轨道的最低点。C点右侧的水平地面上紧挨C点放置一木板，木板质量M＝1kg，上表面与C点等高。质量m＝1kg的物块(可视为质点)从空中A点以v0＝1.2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道。已知物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，不计木板与地面间的摩擦，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：

图2

(1)物块运动到B点时的速度；

(2)物块经过轨道上的C点时对轨道的压力大小；

(3)木板至少多长才能使物块不从木板上滑下。

答案(1)2m/s(2)46N(3)4.5m

解析(1)根据物块经过B点的速度和竖直方向的夹角为θ，可知

vB＝eq\f(v0,sinθ)＝eq\f(1.2,0.6)m/s＝2m/s。

(2)从B到C应用动能定理有

mg(R＋Rsinθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)

代入数据得vC＝6m/s

在C点，由牛顿第二定律有FN－mg＝meq\f(veq\o\al(2,C),R)

代入数据得FN＝46N

由牛顿第三定律可知FN′＝FN＝46N

即物块对轨道的压力为46N。

(3)根据题意可知，物块在木板上滑动时，二者动量守恒，则有mvC＝(m＋M)v共

设木板最小长度为L，根据能量守恒定律，有

μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)(m＋M)veq\o\al(2,共)

代入数据得L＝4.5m。

3.(2023·黑龙江哈尔滨六中一模)如图3所示，离子加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，再经偏转系统后到达水平面。图中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直于纸面向外；匀强电场的电场强度大小均为E。磁分析器截面四分之一圆弧的半径分别为L和3L，M和N为两端中心小孔；偏转系统中电场分布在棱长为L的正方体内，底面与水平面平行且间距为L。当偏转系统不加垂直纸面向外的电场时，质量为m的离子恰好竖直到达水平面内的O点(x轴正方向垂直纸面向外，y轴正方向水平向左)。整个系统置于真空中，不计离子重力及离子间的相互作用。求：

图3

(1)通过磁分析器的离子电性及比荷；

(2)离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标。

答案(1)正电eq\f(E,2B2L)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3L,4)，0))

解析(1)通过磁分析器的离子在磁分析器内做匀速圆周运动，洛伦兹力指向O′提供向心力，由左手定则可知离子带正电，且有qvB＝eq\f(mv2,r)，r＝2L

离子通过速度选择器时有qE＝qvB

联立解得eq\f(q,m)＝eq\f(E,2B2L)。

(2)离子在偏转系统中有t1＝eq\f(L,v)＝eq\f(BL,E)

出偏转系统时垂直纸面向外的速度分量及位移为

v外＝at1＝eq\f(qE,m)·eq\f(LB,E)＝eq\f(qBL,m)

x1＝eq\f(1,2)ateq