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空间几何平行与垂直证明
线面平行
方法一：中点模型法
例：1.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点.
求证：PA//平面BDE
练习：
1.三棱锥中，，，平面，
点、分别为线段、的中点，
〔1〕判断与平面的位置关系并说明理由；
〔2〕求直线与平面所成角的正弦值。
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD.
3.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
求证：AC//平面EFG.
4.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
求证：EF//平面BGH.
方法二：平行四边形法
例：1.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点，O为BD的中点.
求证：OE//平面ADP
2.正方体中，分别是中点.
求证：平面
练习
1.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，为的中点，为的中点
证明：直线平面；
2.在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB，PD的中点.
PBAPCBAPDCBAPADCBAP
P
BAP
CBAP
DCBAP
ADCBAP
EAP
FAP
3．正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．
求证：〔1〕C1O//平面AB1D1；
4.如图，棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，
〔1〕求证：面；〔2〕判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
A
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
F
M
方法三：构造平面法
例：1.如图，分别为，，的中点．是的中点，证明：平面
方法四：线段比例法
例1、如下图,正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ不共面，ＡＮ＝ＤＭ
.求证：ＭＮ∥平面ＢＣＥ.
面面平行
A1ABCB1C1EFMND1D题1、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
M
N
D1
D
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
练习
ＢＡＣＤＢ1．如图，在正方体ＡＢＣＤ－中，ＡＢ＝
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
求证：平面Ａ／／平面ＤＢ．
2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，
求证：平面MNH//平面BCE；
3、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
NMPDCQB
N
M
P
D
C
Q
B
A
线面垂直
例：1．如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为
的中点，与相交于点，连结，
求证：平面；〔2〕求证：平面。
2．如下图，四边形为矩形，平面，为上的点，，且平面
ＢＡＤＣＦＥ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｅ
〔2〕求证：平面；
3.如图，正方形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.
〔Ⅰ〕求证：EF⊥平面BCE；
〔Ⅱ〕设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；
4．直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，
且交AC于D，(如图11)．
图11DEA1CB
图11
D
E
A1
C
B
A
C1
B1
〔II〕证明：平面．
5.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，假设、分别为、的中点.
FABCPDE
F
A
B
C
P
D
E
〔2〕求证：⊥平面.
6、如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，，，为中点，
平面，，
为中点．
〔Ⅰ〕证明：//平面；
〔Ⅱ〕证明：平面；
〔Ⅲ〕求直线与平面所成角的正切值．
面面垂直
例1.如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
ABCD
A
B
C
D
E
P
〔2〕求证：BE//平面PAD．
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)假设CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
3．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2〔1〕求证：平面AEF⊥平面PBC；
ABCPEF〔2〕求二面角P—
A
B
C
P
E
F
4.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。
〔Ⅰ〕求证：平面；
〔Ⅱ〕当且E为PB的中点
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