6.7-陪集和拉格朗日定理.ppt

遍布整个平面，而且要么相等要么相交是空集这个定理我们从前面的例子也能看出来！群满足消去律[a]r代表所有和a有等价关系R的元素b的集合，aH代表的是a与H中的元素进行运算后得到的集合,根据上一个定理，a和b满足a-1*b∈H当且仅当b∈aH的。因此可以很容易得到[a]r=aH有限群的子群的元素个数是群的元素个数的因子。集合上的等价类集合是集合的一个划分，并起来得到原来的集合，彼此之间相交等于空集子群的元素个数m能够整除群的元素个数n，并起来求元素个数，就等于就每一个元素个数再加起来，因为他们交集就是空集利用推论2很容易得到推论3。作为作业yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集和拉格朗日定理陪集：设H,*是群G,*的一个子群，a∈G,则集合aH={a*b|b∈H},称为由a确定的H在G中的左陪集。元素a∈aH称为左陪集aH的代表元素。同理，Ha={b*a|b∈H}称为由a确定的H在G中的右陪集。yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集与拉格朗日定理【例题】{0,2,4},+6是N6,+6的子群，求{0,2,4},+6的所有左陪集。解答：由0确定的左陪集：{0,2,4}由1确定的左陪集：{1,3,5}由2确定的左陪集：{0,2,4}由3确定的左陪集：{1,3,5}由4确定的左陪集：{0,2,4}由5确定的左陪集：{1,3,5}yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集与拉格朗日定理【例题】设G=R×R,R为实数集，G上的一个二元运算+定义为x1,y1+x2,y2=x1+x2,y1+y2显然，G,+是一个具有幺元0,0的阿贝尔群。设H={x,y|y=2x,x,y∈R},很容易验证H,+是G,+的子群。对于x0,y0∈G,求H关于x0,y0的左陪集。yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集与拉格朗日定理解答：x0,y0H={x0+x,y0+y|y=2x}={x’,y’|(y’-y0)=2(x’-x0)}这个例子的几何意义：G是二维平面，H是通过原点的一条直线y=2x,陪集x0,y0H是通过点x0,y0且平行于H的一条直线。那么，集合{x,yH|x,y∈G}构成G的一个划分。yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集性质『定理』设H,*是群G,*的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么aH=bH或aH∩bH=φ。证明：假设aH∩bH≠φ,则存在元素h1∈H,h2∈H使得a*h1=b*h2=c。则有a=b*h2*h1-1。任取x∈aH,存在h3∈H,使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3)yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集性质而h2*h1-1*h3∈H,所以x∈bH。因此,aHbH。同理可以得到bHaH。这样，可以得到aH=bH。又aH和bH都是非空集合，aH=bH或aH∩bH=不可兼得。所以定理得证。yuliang@mti.xidian.edu.cn**6.7陪集性质『定理』设H,*是群G,*的一个子群，aH和bH是任意两个左陪集，那么|aH|=|bH|=|H|。证明：a∈G,对于H中任意元素h1,h2∈H,若h1≠h2,