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第6章三角函数
一.教学目的:
理解正弦函数、余弦函数和正切函数的意义,会作它们的图像;
掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性、单调性、值域、最大值和最小值等性质及其图像特征;
对于函数〔,〕掌握它与函数之间的关系,领会、、对函数的图像和性质的影响,掌握它的周期性、单调性、最大值和最小值等性质;
理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念,知道它们的图像和性质,会用反三角函数的值表示角的大小,会求简单三角方程的解集;
了解三角函数的应用价值
二.注:本章对的讨论仅限于参数、、是具体实数,且,的情形,面对更一般情形的讨论不作要求;
三角方程主要限于形式的方程
三.本章内容:三角函数;反三角函数;最简单三角方程
本章的重点
三角函数的性质和图像;
学习性质的关键是:对三角函数的图像的认识和理解
利用五点法作图,把握正弦、余弦、正切函数图像的主要特征〔一个周期内的图像〕
复习一三角函数的图像与性质
教学过程
一.本节的主要内容
1.了解正弦、余弦、正切函数图像的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和的简图,掌握由函数的图像得到函数的图像变换原理,并能解决与正弦曲线有关的问题;
2.求经简单变形可化为等形式的三角函数的周期;
3.求三角函数的定义域、值域;
4.判断三角函数的奇偶性、单调性,求出单调区间;
5.综合三角函数的性质、图像解决三角函数有关问题
二.主要方法
1.“五点法”画正弦、余弦函数、的简图,五个特殊点通常都是取三个平衡点、一个最高、一个最低点〔、、、、〕
2.给出图像求的解析式的难点在于、确实定,用待定系数法。=1\*GB3①寻找特殊点〔平衡点、最值点〕代入解析式,确定周期,进而确定;=2\*GB3②图像可由哪个函数的图像经过变换而得的
3.对称性:
〔1〕函数的对称轴可由〔〕解出;对称中心的横坐标是方程〔〕的解,对称中心的纵坐标为〔整体代换法〕
〔2〕函数的对称轴可由〔〕解出;对称中心的横坐标是方程〔〕的解,对称中心的纵坐标为
〔3〕函数的对称中心的横坐标可由〔〕解出
4.时,,当〔〕时有最大值;当〔〕时有最小值
时,与上述情况相反
5.求三角函数的定义域,就是解三角不等式〔组〕,一般可用三角函数的图像或三角函数线确定三角不等式的解,列三角不等式,需要考虑分式的分母不能为零,偶次方根被开放数大于等于零,对数的真数大于零及底数大于零且不等于,又要考虑三角函数本身的定义域
6.求三角函数的值域的常用方法:=1\*GB3①化为求代数函数值域;=2\*GB3②化为求的值域;=3\*GB3③化为关于〔或〕的二次函数式
7.三角函数的周期问题一般将函数式化为〔其中为三角函数,〕
8.函数为奇函数;
函数为偶函数;
函数为偶函数;
函数为奇函数
9.函数〔,〕的单调增区间由
解出,单调减区间由解出
三.例题
以下例题可以选作例题,也可以选作课堂练习
四.小结
1三角函数的图像与性质;
2应用:求定义域、值域、最值、单调区间、周期、判断函数的奇偶性;
3对称性
1、表达如何由的图像得到的图像
解:将的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的倍得到的图像;再向右平移个单位得到的图像;再每一点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的倍得到的图像
另法:将的图像向右平移个单位得到的图像;再将每一点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的倍得到的图像;再每一点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的倍得到的图像
2、电流与时间〔秒〕的关系式为
〔1〕如图是〔,,〕在一个周期内的图像,根据图中数据求的解析式;
〔2〕如果在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么的最小正整数值是多少?
解〔1〕
〔2〕〔〕
,又,且
3、函数,求的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域
解:〔〕
定义域:
的定义域关于原点对称,又,是偶函数
当〔〕时,
又时,,而
值域
4、求以下函数的单调区间
〔1〕;〔2〕
解〔1〕单调递增区间:;单调递减区间:
〔2〕单调递增区间:;单调递减区间:〔〕
5、设〔〕的周期,最大值
〔1〕求、的值;〔2〕假设、为方程的两根,且、终边不共线,求
解:〔1〕,不妨
由,得,且,那么
〔2〕
或〔〕
〔、终边共线,舍去〕或〔〕
〔〕
6、函数
〔1〕求的值;〔2〕求的最大值和最小值
解:
〔1〕
〔2〕
当时,;当时,
7、函数〔,〕,在时取得最大值
〔1〕求的最小正周期;〔2〕求的解析式;
〔3〕假设,求
解〔1〕;〔2〕;
〔3〕
8、函数,
〔1〕求函数的最小正周期;
〔2〕求函数的最大值,并求使取得最大值的的集合
解:〔1〕
那么的最小正周期为:
〔2〕
当〔〕时取得最大值
取得最大值时,对应的的集合为
9、函数
〔1〕求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
〔2〕假
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