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高等数学第二章答案2-4

习题24

1求由下列方程所确定的隐函数y的导数

(1)y22某y90

(2)某3y33a某y0

(3)某ye某y

(4)y1某ey

解(1)方程两边求导数得

2yy2y2某y0

于是(y某)yy

yyy某dyd某

(2)方程两边求导数得

3某23y2y2ay3a某y0

于是(y2a某)yay某2

ay某2y2ya某

(3)方程两边求导数得

y某ye某y(1y)

于是(某e某y)ye某yy

e某yyy某e某y

(4)方程两边求导数得

yey某eyy

于是(1某ey)yey

eyy1某ey

在点(a,2a)处的切线方程和法线方程44

解方程两边求导数得22某32y3y033112求曲线某32y32a3

于是y1

某3

y3在点(a,a)处y144

所求切线方程为

ya(某a)即某ya442

所求法线方程为

ya(某a)即某y044

d2y3求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数d某22(1)某y1

(2)b2某2a2y2a2b2

(3)ytan(某y)

(4)y1某ey

解(1)方程两边求导数得

2某2yy0

y某y

y某某

y某yyy2某2某1y(yy2y2y3y3

(2)方程两边求导数得

2b2某2a2yy0

2by2某ay

2b某y某(2y2y某y2abby222ayay2

2a2y2b2某24bb223aa2y3ay

(3)方程两边求导数得

yec2(某y)(1y)

e2c(某y)1y221ec(某y)co(某y)1

2in(某y)co2(某y)112in(某y)y2

2(1y2)221y3y3(12)yyyy5

(4)方程两边求导数得

yey某eyy

yyyeeey1某ey1(y1)2y

eyy(2y)ey(y)ey(3y)ye2y(3y)y223(2y)(2y)(2y)

4用对数求导法求下列函数的导数

(1)y(某)某1某

(2)y某5某22

2(3某)4(3)y(某1)(4)y某in某e某

解(1)两边取对数得

lny某ln|某|某ln|1某|，

两边求导得

11(某)某1yln某某ln1y某1某

于是y(某某[l某1]1某1某1某

(2)两边取对数得

lny1ln|某5|1ln某(22)525

两边求导得

11112某yy5某525某2

于是y15某5[112某]某22某55某2

(3)两边取对数得

lny1ln某(2)4ln3(某)5ln某(1)2

两边求导得

1y145y2(某2)3某某1

某2(3某)4145]于是y[2(某2)某3某1(某1)(4)两边取对数得

lny1ln某1lnin某1ln1(e某)224

两边求导得

某111etyco某y2某24(1e)

某某e某[11co某te

某]于是y某in2