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全等三角形典型例题

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【典型例题】

例1.（20XX年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．

分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。

解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E．

又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D．

在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE．

评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。

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例2.（20XX年浙江衢州）如图，AB∥CD

（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．

分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF≌△AEF，由于已具备公共边AF＝AF，∠ACF＝∠AEF，根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可．

解：（1）作图略（2）AF⊥CE，∠AFC＝∠AFB，∠CAF＝∠BAF（选一个即可）

评析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，结合图形探索全等所需条件是解题关键．

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例3.如图所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，已知△ABE≌△ADF．

（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置．

全等三角形典型例题全文共1页，当前为第1页。（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．

全等三角形典型例题全文共1页，当前为第1页。

分析：根据平移、翻折、旋转的特点△ABE经过旋转变到△ADF的位置，因为平移后对应边平行，翻折后有一组对应边在同一直线上．讨论BE与DF的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系，根据全等易得BE＝DF．对应位置关系，需要延长BE交DF于G，观察证明∠DGB＝90°．

解：（1）图中通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．

（2）延长BE交DF于G，

∵△ABE≌△ADF，

∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF．

又∠AEB＝∠DEG，

∴∠DGB＝∠DAB＝90°．

∴BE⊥DF．

评析：本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中．

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例4.（20XX年河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

分析：首先由旋转的特点得AQ＝AP，又由∠QAP＝∠BAC，结合图形，利用角的差得∠QAB＝∠PAC，又AB＝AC，得△AQB≌△APC，从而BQ＝CP．而点P在△ABC外部时，与点P在△ABC内部时基本相同，只是在证∠QAB＝∠PAC时利用角的和而不是差．

全等三角形典型例题全文共2页，当前为第2页。解：∵∠QAP＝∠BAC，

全等三角形典型例题全文共2页，当前为第2页。

∴∠QAP＋∠PAB＝∠BAC＋∠PAB，即∠QAB＝∠PAC．

在△QAB和△PAC中，，

∴△QAB≌△PAC，∴BQ＝CP．

评析：分析已知条件，观察图形，培养“直觉”图形的意识，确认边、角之间的关系，尽快地找到解题的突破口．

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例5.如图所示，已知△ABC中，a＝5cm，b＝4cm，c＝3cm，∠B＝53°，∠C＝37°，请你从中选择适当的数据画一个三角形，使之与△ABC全等，把你所能画的三角形全部画出来，不写画法，并在所画出的三角形中标出你选用到的数据，并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法？

分析：利用SSS、AAS等方法画三角形与已知△ABC全等时，同学们不够熟练，为此不妨利用三角形内角和为180°，从而可知∠A＝90°，在具体画图时可先画出∠A＝90°后仍选用SSS、AAS等方案画图为宜，即在所画出的图形中仍只标明∠B、∠C的度数即可．

解：要画出与△ABC全等的三角形，可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法，其中有四种画法不符合