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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第02讲-无理方程的解法(1)
第二讲无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程),这是数学竞赛
中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种.解无理方程的基本思想是
把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的结构特征选
择解题方法.常用的方法有:乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元
素法、利用比例性质法等.本讲将通过例题来说明这些方法的运用.
例1解方程
解移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
2
x+3x-28=0,
所以x=4,x=-7.
12
经检验知,x=-7为增根,所以原方程的根为x=4.
2
说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来
解无理方程,往往会产生增根,应注意验根.
例2解方程
方公式将方程的左端配方.将原方程变形为
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第02讲-无理方程的解法(1)
所以
两边平方得
22
3x+x=9-6x+x,
两边平方得
22
3x+x=x+6x+9,
例3解方程
即
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所以
移项得
例4解方程
解三个未知量、一个方程,要有确定的解,则方程的结构必然是极其
特殊的.将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以x=1,y=2,z=3.
经检验,x=1,y=2,z=3是原方程的根.
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第02讲-无理方程的解法(1)
例5解方程
所以
将①两边平方、并利用②得
22
xy+2xy-8=0,
(xy+4)(xy-2)=0.
xy=2.③
例6解方程
解观察到题中两个根号的平方差是13,即
②÷①便得
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第02讲-无理方程的解法(1)
由①,③得
例7解方程
分析与解注意到
2222
(2x-1)-(x-3x-2)=(2x+2x+3)-(x-x+2).
设
则
2222
u-v=w-t,①
u+v=w+t.②
因为u+v=w+t=0无解,所以①÷②得
u-v=w-t.③
②+③得u=w,即
解得x=-2.
经检验,x=-2是原方程的根.
例8解方程
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