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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第02讲-无理方程的解法(1)

第二讲无理方程的解法

未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程),这是数学竞赛

中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是

把无理方程转化为有理方程来解,在变形时要注意根据方程的结构特征选

择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元

素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．

例1解方程

解移项得

两边平方后整理得

再两边平方后整理得

2

x＋3x-28＝0,

所以x=4,x=-7．

12

经检验知,x=-7为增根,所以原方程的根为x=4．

2

说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来

解无理方程,往往会产生增根,应注意验根．

例2解方程

方公式将方程的左端配方．将原方程变形为

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所以

两边平方得

22

3x+x=9-6x＋x,

两边平方得

22

3x+x=x＋6x＋9,

例3解方程

即

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所以

移项得

例4解方程

解三个未知量、一个方程,要有确定的解,则方程的结构必然是极其

特殊的．将原方程变形为

配方得

利用非负数的性质得

所以x=1,y=2,z=3．

经检验,x=1,y=2,z=3是原方程的根．

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例5解方程

所以

将①两边平方、并利用②得

22

xy＋2xy-8=0,

(xy＋4)(xy-2)=0．

xy=2．③

例6解方程

解观察到题中两个根号的平方差是13,即

②÷①便得

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由①,③得

例7解方程

分析与解注意到

2222

(2x-1)-(x-3x-2)=(2x+2x+3)-(x-x+2)．

设

则

2222

u-v＝w-t,①

u+v=w+t．②

因为u+v=w+t=0无解,所以①÷②得

u-v=w-t．③

②＋③得u=w,即

解得x=-2．

经检验,x=-2是原方程的根．

例8解方程

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