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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第05讲-函数的基本概念与性质

第五讲函数的基本概念与性质

函数是中学数学中的一条主线,也是数学中的一个重要概念．它使我

们从研究常量发展到研究变量之间的关系,这是对事物认识的一大飞跃,

而且对于函数及其图像的研究,使我们把数与形结合起来了．学习函数,

不仅要掌握基本的概念,而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来,

在解题中自觉地运用数形结合的思想方法,从图像和性质对函数进行深入

的研究．

1．求函数值和函数表达式

对于函数y=f(x),若任取x=a(a为一常数),则可求出所对应的y值

f(a),此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与

确定函数表达式的问题．

2

例1已知f(x-1)=19x＋55x-44,求f(x)．

解法1令y=x-1,则x=y+1,代入原式有

2

f(y)=19(y＋1)＋55(y＋1)-44

2

＝19y＋93y＋30,

2

所以f(x)=19x+93x＋30．

22

解法2f(x-1)=19(x-1)＋93(x-1)+30,所以f(x)=19x＋93x＋30．

可．

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例3已知函数f(x)=ax-bx＋x＋5,其中a,b为常数．若f(5)=7,求

f(-5)．

解由题设

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f(-x)=-ax＋bx-x＋5

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=-(ax-bx＋x＋5)+10

=-f(x)+10,

所以

f(-5)=-f(5)＋10=3．

例4函数f(x)的定义域是全体实数,并且对任意实数x,y,有f(x+y)

=f(xy)．若f(19)=99,求f(1999)．

解设f(0)=k,令y=0代入已知条件得

f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k,

即对任意实数x,恒有f(x)=k．所以

f(x)=f(19)=99,

所以f(1999)=99．

2．建立函数关系式

2

例5直线l1过点A(0,2),B(2,0),直线l：y=mx＋b过点C(1,0),且

把△AOB分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,如图

3－1．设此三角形的面积为S,求S关于m的函数解析式,并画出图像．

解因为l过点C(1,0),所以m＋b=0,即b=-m．

2

设l与y轴交于点D,则点D的坐标为(0,-m),且0＜-m≤2(这是因

2

为点D在线段OA上,且不能与O点重合),即-2≤m＜0．

故S的函数解析式为

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例6已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12．从它的一个顶点作一

条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边