(完整版)人教版文科数学椭圆讲义.doc

2.1椭圆

第1课时椭圆及其标准方程

1．归纳总结，核心必记

(1)椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)椭圆的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

图形

焦点坐标

(－c，0)，(c，0)

(0，－c)，(0，c)

a，b，c

的关系

a2＝b2＋c2

例题1（椭圆定义理解）

已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．

解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，

又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，

∴△ABF2的周长为4a.

由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当ac时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当ac时，集合P为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．

案例1

1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：选B若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a0，为常数)．

所以甲是乙的必要条件．

反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．

2．已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是()

A．椭圆B．圆C．直线D．线段

解析：选D因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.

例题2（求椭圆的标准方程）

(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，求它的标准方程；

(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．

解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)．

由椭圆的定义知

2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2))

＝2eq\r(10)，

∴a＝eq\r(10).又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.

∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.

(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．

∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m＝1，,n＝1，))

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))

综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.

案例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；

(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.

解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)．

因为2a＝eq\r(（5＋3）2＋02)＋eq\r(（5－3）2＋02)＝10，2c＝6，

所以a＝5，c＝3，

所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.

所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，

所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\