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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第10讲-一元二次不等式的解法
第十讲一元二次不等式的解法
22
形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0(a≠0)的不等式叫作一元二次不等
式.一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密
切的联系,a>0的情况如表10.1所示.
a<0时,可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变),化为上述情
况.
本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧.
1.含参数的不等式的解法
例1设a为参数,解关于x的一元二次不等式
2
x(a+3)x+3a<0.
解分解因式
(x-3)(x-a)<0.
(1)若a>3,解为3<x<a;
(2)若a<3,解为a<x<3;
2
(3)若a=3,原不等式变成(x-3)<0,无解.
2
例2设a为参数,解关于x的一元二次不等式ax-(a+1)x+1<0.
解(1)a=0,原不等式为-x+1<0,解为x>1.
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第10讲-一元二次不等式的解法
(2)a≠0,分解因式得
①若a>0,则
②若a<0,则
2
例3对一切实数x,不等式ax+(a-6)x+2>0恒成立,求a的值.
解由于不等式对一切x恒成立,故a应该满足
即
所以2<a<18.
例4设有不等式
试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围.
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第10讲-一元二次不等式的解法
2
解令y=x-3x+2,0≤x≤2,则在0≤x≤2上y能取到的最小
所以
2.含绝对值的不等式
2
例5解不等式x-x-5>|2x-1|.
2
x-x-5>2x-1,
2
即x-3x-4>0,
2
x-x-5>1-2x,
2
即x+x-6>0,
综上所述,原不等式的解为x<-3或x>4.
2
例6解不等式|x-2x-3|>2.
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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第10讲-一元二次不等式的解法
解|y|>2,即y>2或y<-2,所以,可以把原不等式分为两个不等式:
2
x-2x-3>2,①
2
x-2x-3<-2.②
解①得
综合上述两个不等式的解,原不等式的解为(图3-13)
3.可化为一元二次不等式来解的不等式
例7解不等式
解原不等式可化为
(x-1)(x+1)>0,
所以
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