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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第10讲-一元二次不等式的解法

第十讲一元二次不等式的解法

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形如ax+bx+c＞0或ax+bx+c＜0(a≠0)的不等式叫作一元二次不等

式．一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密

切的联系,a＞0的情况如表10．1所示.

a＜0时,可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变),化为上述情

况．

本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧．

1．含参数的不等式的解法

例1设a为参数,解关于x的一元二次不等式

2

x(a+3)x+3a＜0．

解分解因式

(x-3)(x-a)＜0．

(1)若a＞3,解为3＜x＜a;

(2)若a＜3,解为a＜x＜3;

2

(3)若a=3,原不等式变成(x-3)＜0,无解．

2

例2设a为参数,解关于x的一元二次不等式ax-(a+1)x+1＜0．

解(1)a=0,原不等式为-x+1＜0,解为x＞1．

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(2)a≠0,分解因式得

①若a＞0,则

②若a＜0,则

2

例3对一切实数x,不等式ax+(a-6)x+2＞0恒成立,求a的值．

解由于不等式对一切x恒成立,故a应该满足

即

所以2＜a＜18．

例4设有不等式

试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围．

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2

解令y=x-3x+2,0≤x≤2,则在0≤x≤2上y能取到的最小

所以

2．含绝对值的不等式

2

例5解不等式x-x-5＞|2x-1|．

2

x-x-5＞2x-1,

2

即x-3x-4＞0,

2

x-x-5＞1-2x,

2

即x+x-6＞0,

综上所述,原不等式的解为x＜-3或x＞4．

2

例6解不等式|x-2x-3|＞2．

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解|y|＞2,即y＞2或y＜-2,所以,可以把原不等式分为两个不等式：

2

x-2x-3＞2,①

2

x-2x-3＜-2．②

解①得

综合上述两个不等式的解,原不等式的解为(图3－13)

3．可化为一元二次不等式来解的不等式

例7解不等式

解原不等式可化为

(x-1)(x+1)＞0,

所以