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习题2-1
A
=6.
32
用行列式的定义计算下面的行列式.
(1)?35; (2)256; (3)?8; (4)29.
思考题2-2
1.若对方阵A进行一次对调变换得到B,则A??B；若对方阵A进行一次倍乘变换（假设第i行或第i列乘以数k）得到B,则B?kA；若对方阵A进行一次倍加变换得到B,则A?B.
2.A?0.
?a a
? ?b b ?
?3.(1)不正确。例如，设A?? 11
?
a
21
12?,B??11
?
? ?
22 21
12?,则
?b
?
22
A?B?
a ?b
11 11
a ?b
21 21
a ?b a
12 12 ? 11
a ?b a
22 22 21
a ?b b
12 12 ? 11
a ?b b
22 22 21
a ?b
12 12
a ?b
22 22
a
? 11
a
21
a a
12? 11
a
22 21
b
12? 11
b b
22 21
a b
12? 11
b
22 21
a
12 ? A? 11
b a
22 21
b b
12? 11
b b
22 21
a
12?B
a
22
不正确。设A的阶数为n，则?A?(?1)nA
不正确。例如，设A?
?1 2?，则A?0,但A?O.
00? ?
0
0
? ?
E
i,j
??1,E
i
(k)?k,E
i,j
(k)?1
性质2-2讲的是方阵A的第i行（列）的数与第i行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于A的行列式；性质2-7讲的是方阵A的第i行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.
习题2-2
det(A)?3a,a
1 1
?a,?3a
2 3
??9a,a
1 1
a,a
2 3
?c
2?1?9a,a,a
1 2 3
??18.
2. 3a?a
1 2
a,a
3 2
2a,a
3 3
c?c
1?3
3a?a
1 2
,a,a
2 3
c?c
1?2
3a,a,a
1 2 3
?3a,a,a?6
1 2 3
c?2c
2 3
3.a,a
3 2
,a,b
1 1
b?a,a
2 3 2
,a,b
1 1
?a,a
3 2
,a,b
1 2
??a,a
1 2
,a,b
3 1
?a,a
1 2
,b,a
2 3
?n?m
证：
将第2列和第3列都加到第1列，得
a?b
b?c
c?a
0
b?c
c?a
b?c
c?a
a?b
?
0
c?a
a?b?
0.
c?a
a
b
b?c
0
a?b
b?c
a ?b
1 1
a ?b
b?c
1 1
?c
?a a
1 1 1
c ?a ?a
b?c
1 1
?c
?a b
1 1 1
c ?a ?b
b?c
1 1
?c
?a
1 1
c ?a
2 2
a ?b
3 3
2 2
?c
3 3
2 2 2
?a a
3 3 3
2 2
?c
3 3
2 2 2
?a b
3 3 3
2 2
?c
3 3
2 2
?a
3 3
a b? c
1 1 1
c b c
1 1 1
?c a
1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
?a
2
a
2
b? c
2
2
b
2
c?
2
2a
2
a
2
b
2
c
a
3
a
3
b c
3
3
b
3
c
3
a
3
a
3
b
3
c
b c
c a
a b c
1
?a b? c
2 2 2
c? b
2 2
?c
2 2 2
a b? c
3 3 3
c b c ?c
3 3 3 3 3
设A的阶数为n，则n为奇数.由A是反称矩阵,得AT??A.两边取行列式，得
故A ?0.
AT ??A,A?(?1n)A
,A??A,
先按行提公因式，在按列提公因式，得
a b2
111
a bb
?1
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