角平分线的判定(3).ppt

12.3角的平分线的性质（2）

ODEPP到OA的距离P到OB的距离角的平分线上的点知识回顾几何语言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线的性质：不必再证全等

问题：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么新命题，这个新命题正确吗？角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等议一议角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。追问你能证明这个新命题的正确性吗？

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。证明：作射线OP在Rt△ODP和Rt△OEP中，（HL）（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）BADOPE已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE求证：点P在∠AOB的平分线上∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠ODP=∠OEP=90°∴Rt△ODP≌Rt△OEP∴∠AOP=∠BOP∴OP是∠AOB的平分线上

角的平分线的判定的几何符号表示：PD=PE∴（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）∵ DE OPABPD⊥OAPE⊥OBOP是∠AOB的平分线

X应用角的平分线的判定ABOQMN1．判断题：（1）如图，若QM=QN，则OQ平分∠AOB()

X应用角的平分线的判定ABOQMN1．判断题：（2）如图，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，则OQ是∠AOB的平分线；()

√应用角的平分线的判定ABOQMN1．判断题：（3）已知：Q到OA的距离等于2cm，且Q到OB距离等于2cm，则Q在∠AOB的平分线上．()

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。BADOPECPD=PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角的平分线∵OP是∠AOB的平分线PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE∵PD⊥OA，PE⊥OB∴OP是∠AOB的平分线

练一练填空：(1).∵∠1=∠2，DC⊥AC，DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(2).∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC=DE∴__________(_____________________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。角的平分线上的点到角的两边的距离相等

例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD

ABCPEDFMN例2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等

ABCPEDFMN例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？由于点P在∠A的内部，而且PD=PF。所以点P在∠A的平分线上。说明：三角形的三条角分线交于一点，且这点到三边的距离相等。

角的平分线的判定应用问题如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P应建在何处？公路公路铁路S

小结:1、本节课学习了那些内容？2、角的平分线的判定与角的平分线的性质有什么区别和联系？3、应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？