第44讲 直线与双曲线（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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第44讲直线与双曲线（精讲）

题型目录一览

①直线与双曲线的位置关系

②双曲线的弦长问题

③双曲线的中点弦问题

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.点与双曲线的位置关系

①②

2.直线与双曲线的位置关系

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若即，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

3.直线与双曲线的相交弦问题

设直线交双曲线于点两点，则

=

或

技巧：①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

4.双曲线的中点弦问题

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

注：①遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.

5.双曲线的第二定义

平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一直线与双曲线的位置关系

策略方法直线与双曲线的位置关系

联立直线与双曲线的方程，得到判别式Δ

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

【典例1】（单选题）若直线与双曲线相交，则的取值范围是

A． B．C．D．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·上海·高二专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

2．（2023·江苏·高二专题练习）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“直线”给出下列直线：①，②，③，则这三条直线中有几条“直线”（????）

A． B． C． D．

4．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．（2023秋·山东聊城·高二校考期末）直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

7．（2023·北京顺义·校考模拟预测）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(????)

A． B． C． D．

8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（????）

A． B．1 C．2 D．

9．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（????）

A．5 B． C． D．

10．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

11．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（????）

A．或0 B．－2 C．或0 D．3

12．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．