第48讲 用样本估计总体（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

PAGE1/NUMPAGES

PAGE1/NUMPAGES22

第48讲用样本估计总体（精讲）

题型目录一览

①样本数字特征的计算及其应用

②茎叶图

③频率分布直方图及其应用

④百分位数

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、样本的数字特征

1.众数、中位数、平均数

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．

（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．

（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．

2.标准差和方差

（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．

（2）方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．

（3）数据特征

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．

二、频率分布直方图

1.频率、频数、样本容量的计算方法

①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．

②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于.

2.频率分布直方图中数字特征的计算

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．

三、百分位数

1.定义

一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．

2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤

（1）按从小到大排列原始数据．

（2）计算．

（3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．

3.四分位数

我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．

【常用结论】

均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么

①一组新数据的平均数为，方差是．

②一组新数据的平均数为，方差是．

③一组新数据的平均数为，方差是．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一样本数字特征的计算及其应用

策略方法利用样本的数字特征解决决策问题的依据

(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

(2)方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－nx2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－x2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．

【典例1】某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．

（单位：）

60

63

50

76

71

85

75

63

63

64

（单位：）

56

62

60

68

78

75

76

62

63

70

(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；

(2)求，，，；

(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．

【题型训练】

一、单选题

1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（????）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

2．每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：

册数

0

1

2

3

4

人数

3

13

16

17

1

则这50名学生读书册数的众数、中位数是（????）

A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3