第55讲 二项分布、超几何分布与正态分布（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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第55讲二项分布、超几何分布与正态分布（精讲）

题型目录一览

①两点分布

②超几何分布

③二项分布

④正态分布

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、两点分布

1.若随机变量服从两点分布，即其分布列为

0

1

其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．

注意：两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；

2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．

二、n次独立重复试验

1.定义

一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．

注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．

2.特点

（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；

（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．

三、二项分布

1.定义

一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）

于是得到的分布列

…

…

…

…

由于表中第二行恰好是二项式展开式

各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．

2.二项分布的适用范围及本质

（1）适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．

（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．

3.二项分布的期望、方差

若，则，．

四、超几何分布

1.定义

在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．

0

1

…

…

2.超几何分布的适用范围件及本质

（1）适用范围：

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．

（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．

五、正态曲线

1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．

2.正态曲线的性质

（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；

（3）曲线在处达到峰值（最大值）；

（4）曲线与轴之间的面积为1；

（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：

（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲乙

六、正态分布

1.定义

随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．

一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．

其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．

2.原则

若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大

特别地，有；；．

由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．

【常用结论】

①超几何分布和二项分布的区别

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；

而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

②求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法

（1）根据题目中给出的条件确定与的值．

（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；

（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一两点分布

策略方法

两点分布的试验结果