中南大学2020-2021学年高等代数(二)期中考试.docxVIP

一、单选题(每题5分)

1.设二次型f在非退化线性替换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中

A.2

C.2

B.2

D.2

2.设V1,V2是两个线性子空间,

A.V1

C.V1

B.V1

D.V1

3.下列线性变换σ在指定线性空间中不是线性变换的是().

A.复数域C看成是自身上的线性空间,共轭变换σx

B.复数域C看成是实数域R上的线性空间,恒等变换σx

C.在R3中,σ

D.在Pn×n中,σX=

二、填空题(每题5分)

1.设二次型f=x2+ty2+7z2

2.设V是Pn×n中全体反对称矩阵关于矩阵加法和数乘构成的P上线性空间,则dim

3.设A,B为2阶方阵,A,B的特征多项式相同,但A,B不相似,请举出一例:A=

三、解答题(每题12分)

1.设f=-x1-x22

2.设fx=x-32,g

1)求kerf

2)证明:R3

3.给定方阵A=

1)计算A的特征值与特征向量.

2)判断A是否相似于对角矩阵,并说明理由.

四、证明题

1.已知A,B为m×n矩阵,RA,RB分别为A,B的行向量生成的线性空间,且rA=r,rB

(12分)

2.设A为n阶实矩阵,λ1,λ2,?,λs是A的所有互不相同的特征值,E为n阶单位矩阵,记pA=max

(12分)

3.设V是数域P上的n维线性空间,σ,τ是V上两个线性变换,且στ=τσ.若σ,τ的矩阵都可对角化,证明V

(10分)

参考答案

一

CAA

二

1.t0或

2.nn

3.1001

三

1.设y1=x1-x2,y2=2x1+x2-

2

1)σ在标准基e1,e2,e3下的矩阵A=2101

2)由e1+e2,e3

3

1)A的特征多项式fλ=λE-A=λ-12λ-2,故其特征值为λ1=1(2重),λ2=2.前者对应

2)由A只有两个线性无关的特征向量,故A不可对角化.

四

1.由W即齐次线性方程组ABX=

dim

故dimRA∩R

2.设A的特征多项式fλ=λE-A=∏i=1sλ

3.设σ的全部互不相同的特征值为λ1,?,λs,对应的特征子空间为Vλ1,?,Vλs.由σ

下面证明τ在每个Vλi(i=1,?,s)上可对角化.由στ=τσ,Vλi也为τ的不变子空间.设τ的全部互不相同的特征值为u1,?,ut,

1)∑j=1tNij为直和,只需证零向量表示唯一.设0=α1+?+αt,

2)Vλi=∑j=1tN

β

τ

?

τ

即β,τβ,?,τt-1βT=Cβ1,?,βtT,其中C=1?1???

综合1),2)得Vλ

在每个Nij取一组基合并为Vλi的一组基,由Nij?Wuj,此组基全由τ的特征向量组成.因此τ在Vλi的此组基下的矩阵为对角形.