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【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第12讲-解直角三角形

第十二讲解直角三角形

直角三角形是在实际生产、生活中遇到的最多的几何图形之一,因此,有

关直角三角形的求解计算是经常需要的,有些斜三角形的计算也可以通过

添加适当的辅助线将它转化为直角三角形进行求解．

掌握直角三角形中边、角之间的等量关系,是解直角三角形的基础．目前

同学们已学过的有关直角三角形的边、角等量关系式有(如图3－18所示)：

(1)角与角之间关系两锐角互余：∠A+∠B=90°．

222

(2)边与边之间关系勾股定理：a+b=c．

(3)边与角之间关系

a=c·sinA=c·cosB=b·tgA=b·ctgB,

b=c·cosA=c·sinB=a·ctgA=a·tgB．

(4)面积关系

另外,我们应用所学过的知识,还能推出其他一些等量关系式．如图

3－18中,∠A=∠BCD,则sinA=sin∠BCD,所

2

BC=BD·AB．①

用类似的方法,还可以得出：

2

AC=AD·AB,②

2

CD=AD·BD．③

以上①,②,③又称射影定理,当然,利用相似三角形也可以得出上述

结果．

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对于斜三角形(锐角或钝角三角形),通过作高线,可以转化为直角三角形,

利用直角三角形的有关知识可得到一些一般三角形中的重要公式,从而为

解一般三角形带来方便．如图3—19所示,三角形ABC为任意三角形,作

CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中,有

CD=AC·sinA=b·sinA,

所以

同法可得

这是一般三角形利用两边及其夹角求面积的公式．

由上面这组公式,不难得到下列等式：

bcsinA=absinC,①

bcsinA=acsinB,②

absinC=acsinB．③

①,②,③约分、化简,再写成比例式,得到

每一个等式都反映了一般三角形中两边及其所对的两角之间的等量

关系,我们称这组等式为正弦定理,它在一般三角形的计算中有着重要的

应用．

另外,根据图3－19,我们还能推出一般三角形中三边及一角的等量关

系．在直角△ACD中有

CD=bsinA,AD=bcosA,

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所以

BD=AB-AD=c-bcosA．

222

在直角△BCD中,根据勾股定理,有BC=CD+BD,则

222

a=(bsinA)+(c-bcosA),

即

222222

a=bsinA+c-2bcosA+bcosA,

化简后得

222

a=b+c-2b