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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第04讲-一元一次方程
第四讲一元一次方程
方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学
习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介
绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.
用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式
都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.
如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,
这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的
解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.
只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个
一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形
式).
解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最
简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.
一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:
(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;
(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.
例1解方程
解法1从里到外逐级去括号.去小括号得
去中括号得
去大括号得
解法2按照分配律由外及里去括号.去大括号得
化简为
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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第04讲-一元一次方程
去中括号得
去小括号得
例2已知下面两个方程
3(x+2)=5x,①
4x-3(a-x)=6x-7(a-x)②
有相同的解,试求a的值.
分析本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.
解由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的
定义,把x=3代入方程②时,应有
4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),
7(a-3)-3(a-3)=18-12,
例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.
解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21,
例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.
分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不
同值时,方程解的情况.
解把原方程化为
22
mx+mnx-mn-n=0,
整理得m(m+n)x=n(m+n).
当m+n≠0,且m=0时,方程无解;
当m+n=0时,方程的解为一切实数.
说明含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有
唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.
例5解方程
2222
(a+x-b)(a-b-x)=(a-x)(b+x)-ab.
22
分析本题将方程中的括号去掉后产生x项,但整理化简后,可以消去x,也就是说,原
方程实际上仍是一个一元一次方程.
解将原方程整理化简得
222222222
(a-
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