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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第04讲-一元一次方程

第四讲一元一次方程

方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学

习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介

绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．

用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值,等式

都成立,这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．

如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,

这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的

解．方程的解的集合,叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．

只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个

一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形

式)．

解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最

简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解．

一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定：

(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;

(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解．

例1解方程

解法1从里到外逐级去括号．去小括号得

去中括号得

去大括号得

解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得

化简为

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去中括号得

去小括号得

例2已知下面两个方程

3(x+2)=5x,①

4x-3(a-x)=6x-7(a-x)②

有相同的解,试求a的值．

分析本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值．

解由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3．由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的

定义,把x=3代入方程②时,应有

4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),

7(a-3)-3(a-3)=18-12,

例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．

解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5,所以a=3．于是有

2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21,

例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．

分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不

同值时,方程解的情况．

解把原方程化为

22

mx+mnx-mn-n=0,

整理得m(m+n)x=n(m+n)．

当m+n≠0,且m=0时,方程无解;

当m+n=0时,方程的解为一切实数．

说明含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围．解这类方程时,需要从方程有

唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．

例5解方程

2222

(a+x-b)(a-b-x)=(a-x)(b+x)-ab．

22

分析本题将方程中的括号去掉后产生x项,但整理化简后,可以消去x,也就是说,原

方程实际上仍是一个一元一次方程．

解将原方程整理化简得

222222222

(a-