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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初3)第22讲-解题思想方法漫谈

第二十二讲解题思想方法漫谈

学习数学必须善于解题,当代美国著名数学家哈尔莫斯(P．R．Halmos)说

过这样的话：问题是数学的心脏．”当代最著名的数学教育家、美国的

波利亚曾说过：掌握数学意味着什么?这就是说善于解题,不仅善于解一

些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发

明创造的题．”所以,有志于学好数学的同学,除了学好课本知识以外,还

需要学习一些数学解题的思想方法和技巧．本讲将介绍一些常用的数学

解题方法．

1．化归

所谓化归”,是指把要解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经

解决或者能比较容易解决的问题中去,最终获得原问题解答的一种解题策

略,化归从某种意义上来说就是化简”．匈牙利著名数学家罗莎·彼得

(RoszaPeter)在他的名著《无穷的玩艺》中,通过一个十分生动而有趣的

笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的．

有人提出了这样一个问题：假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火

柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说：在壶中灌上水,点

燃煤气,再把壶放到煤气灶上．”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问

道：如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多的水,那么

你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：点

燃煤气,再把水壶放上去．”但是更完善的回答应该是这样：只有物理

学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家们却会回答：‘只须把水壶

中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了．’”

把水倒掉”,这就是化归,这就是数学家们常用的方法．

例15这个数,可以写成3个自然数之和,如果计入不同的顺序,则有6种

方式,即

5=1+1+3=1+3+1=3+1+1

=1+2+2=2+1+2=2+2+1．

设n是大于5的自然数,问n可以用多少种方式写成3个自然数之和(计

入顺序)?

分析对于5,我们把5写成：1+1+1+1+1．对于它的每一种写成3个自然

数之和的方式,对应着从4个加号中选2个加号的方式．例如1+1+3,实

际上就是选前两个加号,1+2+2是选第1和第3个加号,2+2+1是选第2和

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第4个加号,等等．所以5写成3个自然数之和的方式个数,实际上等于

(化归!)在4个加号中选2个的所有选法数,即

解把n写成n个1的和

n=1+1+1+…+1．

例2(1)13个小朋友围成一个圆圈,从圈上至多能选出几个人,使得他们

互不相邻?

(2)从1,2,…,13这13个数中至多可以选出几个数,使得选出的数中,每

两个数的差既不等于5,也不等于8?

解(1)把这13个小朋友依次编号为1,2,…,13,如图3－124所示,那么

选6个人是可以的,例如,选1,3,5,7,9,11号这6位小朋友,他们是不相

邻的．

现在来说明至多可选6名．先任意选定1个,不妨设为1号,这时候与他

相邻的2号与13号不能选了．把剩下的10位小朋友配成5对：(3,4),

(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)．在这5对中,每一对中至多只能选出1个,连

同1号在内,至多可选出6个人,他们互不相邻．

综上所述,从圈上至多能选出6个人,他们互不相邻．

(2)我们把这题化归”为(1)．

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我们把1,2,…,13按如下规则排成一个圆圈：先排1,在1的旁边放

9(与1的差为8),在9的旁边放4(与9的差为5),…这样继续放下去,每

个数旁边的数与它相差8或5,最后得到图3－125所示的一个圈．圈上

的数满足：

(i)每两个相邻的数的差或是8,或是5;

(ii)两个不相邻的数的差既不等于5,也不等于8．

于是问题(2)就转化为：在这个圈上至多能选几个数,使每