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三法教你求锐角三角函数值

山东李红红

锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是解直角三角形的基础，下面介绍三种常见的求锐角三角函数值的方法，供同学们参考学习.

一、利用定义法求

例1如图1，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

图1A．B．C．D．

图1

解析：如图1所示，连接DC，由网格可得∠CDA=90°.

设小正方形的边长为1，则DC=，AC=，

所以sinA=．故选B．

点评：在直角三角形中求三角函数值时，要准确根据三角函数的概念来进行，不能张冠李戴.

二、运用参数法求

例2如图2所示是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为．

解析：设小正方形EFGH的面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2.

图2∴小正方形EFGH的边长是a，则大正方形ABCD的边长是a.

图2

∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE=DH.

设AE=DH=x，在Rt△AED中，由勾股定理，得AD2=AE2+DE2，

即13a2=x2+（x+a）2，解得x1=2a，x2=﹣3a（舍去）.

∴AE=2a，DE=3a.

∴tan∠ADE=.

点评：由于三角函数值实质上就是直角三角形两边长的比值，所以有时需将三角函数值转化为线段比：通过设定一个参数，并用含该参数的代数式来表示出直角三角形的各边长，然后结合相关条件解决问题.

三、借助等角代换求

图3例3如图3是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）

图3

A． B．1 C． D．2

解析：如图3，连接AP，QB，由网格可得∠PAB=∠QBA=90°.

又∵∠AMP=∠BMQ，

∴△PAM∽△QBM，∴=.

设小正方形的边长为1，则AP=3，BQ=，AB=2.

∴，解得AM=.

∴tan∠QMB=tan∠PMA=2．故选D．

点评：三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，当一个锐角的三角函数值不能或不易直接求解时，往往采用转化手段，通过求其等角的三角函数值来达到目的.