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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第17讲集合与简易逻辑

第十七讲*集合与简易逻辑

§17．1集合

我们考察某些事物的时候,常常要考虑由这些事物组成的群体,我们把这

个群体叫作集合．组成某个集合的事物,叫作这个集合的元素．通常用大

写字母A,B,C…等表示集合,小写字母a,b,c,…等表示元素．如果m是集

合A的元素,就说m属于A,记m∈A．如果n

(i)你的家庭中所有成员组成一个集合,你和你的家庭中的其他各个

成员都是这个集合中的元素．

(ii)自然数全体1,2,3,…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．

(iii)如果A,B是平面上两个不同的点,那么A,B两点所确定的直线

上的点组成一个集合,这条直线上每个点都是这个集合的元素．

总之,集合是数学中一个最基本、最常用的概念,下面进一步给同学

们介绍一些关于集合的基本知识．

1．集合的描述方法

(1)列举法

当一个集合所含元素个数较少时,一个最简单的描述方法就是把它所

含的每个元素都列举出来,这叫列举法．用列举法表示集合,通常是将这

个集合的每个元素一一填写在｛｝中,每个元素之间用逗点隔开．填写集

合的元素时,与元素的排列次序无关．例如：

(i)由a,b,c,d,e五个小写字母组成的集合A,记

A=｛a,b,c,d,e｝,

也可记

A=｛b,a,c,d,e)．

(ii)由小于40的质数组成的集合B,记

B=｛2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37｝．

(iii)平方等于1的有理数集合C,记

C=｛1,-1｝．

(iv)三条直线l,l,l组成的集合D,记

123

D=｛l1,l2,l3｝．

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(2)特征性质描述法

当一个集合所含元素较多时,用列举法描述很麻烦,这就要用到特征

性质描述法．

所谓特征性质是指集合中元素的特征性质,即：(i)这个集合中每个元素

都具有这些性质;(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．

例如,集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是

2

A=｛x│x=1｝,

或者

A=｛x││x│=1｝．

全体偶数组成的集合B,用特征性质描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整数｝,

或者

B=｛2n│n是整数｝．

全体奇数组成的集合C,用特征性质描述法表示就是

C=｛x│x是不能被2整除的整数｝,

或者

C=｛2n＋1│n是整数｝,

C=｛2n-1│n是整数｝．

一般地,用特征性质α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性质α｝．

2．集合之间的关系和运算

(1)包含与子集

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(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者

是后者的子集,后者包含前者．

(ii)设集合

例1设A=｛1,2,3,4｝,试写出A的所有子集．

｛1,3｝,｛1,4｝,｛2,3｝,｛2,4｝,｛3,4｝,｛1,2,3｝,｛1,2