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中考数学《二次函数的应用》联系及答案

二次函数的应用

(60分)

一、选择题(每题6分，共12分)

1．图18－1②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且有AC⊥x轴，若OA＝10m，则桥面离水面的高度AC为 (B)

图18－1

A．16eq\f(9,40)m B.eq\f(17,4)m

C．16eq\f(7,40)m D.eq\f(15,4)m

【解析】∵AC⊥x轴，OA＝10m，∴点C的横坐标为－10.当x＝－10时，y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16＝－eq\f(1,400)×(－10－80)2＋16＝－eq\f(17,4)，∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10，－\f(17,4)))，∴桥面离水面的高度AC为eq\f(17,4)m.

2．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：

t

0

1

2

3

4

5

6

7

…

h

0

8

14

18

20

20

18

4

…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq\f(9,2)；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面

从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过__3__s，四边形APQC的面积最小．

【解析】设经过ts，四边形面积最小，S四边形APQC＝eq\f(1,2)×12×24－eq\f(1,2)(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144(0t6)，∴当t＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－24,2×4)＝3时，S四边形APQC最小．

5．[2017·温州]小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图18－3①)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图②所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为__24－8eq\r(2)__．

图18－3

第5题答图【解析】建立如答图所示的直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得AQ＝12，PQ＝MD＝6，故AP＝6，AG＝36，∴在Rt△APM中，MP＝8，DQ＝8＝OG，∴BQ＝12－8＝4.由BQ∥CG可得△ABQ∽△ACG，∴eq\f(BQ,CG)＝eq\f(AQ,AG)，即eq\f(4,CG)＝eq\f(12,36)，解得CG＝12，则OC＝12＋8＝20，∴C(20，0)．又∵水流所在抛物线经过点D(0，24)，∴可设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋24，把C(20，0)，B(12，24)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(24＝144a＋12b＋24，,0＝400a＋20b＋24，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,20)，,b＝\f(9,5)，))∴抛物线为y＝－eq\f(3,20)x2＋eq\f(9,5)x＋24，令y＝10.2，解得x1＝6＋8eq\r(2)，x2＝6－8eq\r(2)(舍去)，∴点E的横坐标为6＋8eq\r(2)，又∵ON＝30，∴EH＝30－(6＋8eq\r(2))＝24－8eq\r(2).

第5题答图

三、解答题(共30分)

6．(15分)[2016·郴州]某商店原来平均每天可销售某种水果200kg，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20kg.

(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

解：(1)根据题意，得

y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1200.

(2)令y＝960，则

960＝－20x2－80x＋1200，即x2＋4x－12＝0，

解得x＝2或－6(舍去)．

答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．

7．(15分)[2016·南京]如图18－4是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O，A两处观测P处，仰角分别为