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等腰三角形中的数学思想
数学思想是解数学题的金钥匙,在等腰三角形中,根据题目的特征,巧妙灵活地运用数学思想解题,可化繁为简,起到事半功倍之效,同时也可有效地防止某些错误发生,现举例说明.
方程思想
例1:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两局部,求这个等腰三角形的底边长.
分析:这是几何中的代数问题,不妨考虑通过设未知数,利用方程(组)思想来解决.
解:设这个等腰三角形的腰长分别为2xcm,底边长为ycm,那么
或或
答:这个等腰三角形底边长是5cm
评注:方程(组)思想是数学学习中的一个重要思想,它是通过设未知数,利用题意来设法建立方程(组),在求解,求出三角形的边必须用三角形边与边不等关系来检验,决定取舍.
分类讨论思想
例2等腰三角形的一个角为400,那么其顶角为〔 〕.
A.400B.800C.400或800D.10
分析:因为并未说明等腰三角形中400的角是顶角还是底角,所以需要对角进行分类讨论。
例3等腰三角形的一边长为4,另一边长为5,那么它的周长是__________.
周长是13或14.
整体思想
CNMDBA图2
C
N
M
D
B
A
图2
解:∵MN垂直平分AB交AC于D,∴BD=AD.又∵AB=AC,∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=13.
评注:此题假设分别求三边长,那么不易求解,而巧妙地应用整体思想求解严防等腰三角形中的“陷阱”
一、利用顶角与底角不分设陷
对于等腰三角形,只要它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,必须分成两种情况来讨论。分类时要注意:三角形内角和等于180;等腰三角形中至少有两个角相等.
例1.等腰三角形ABC中,∠A=70,求∠B,∠C的度数.
剖析:∠A可以是顶角,也可以是底角,因此此题有两解,当∠A是顶角时,
∠B=∠C=55;当∠A是底角时,假设∠B是顶角时,∠B=40,∠C=70;假设∠B是底角时,∠B=70,∠C=40.
二、利用腰与底不分设陷
例2.等腰三角形一腰上的中线将其周长分为12㎝和15㎝两局部,求三边长.
即三边长为8㎝,8㎝,11㎝,或10㎝,10㎝,7㎝.
例3.等腰三角形中,一边与另一边之比为3:2,该三角形周长为56,
求腰长是多少?
错解:设腰长为3x,那么底为2x,那么3x+2x+3x=56,
∴x=7,∴腰长为21,
剖析:当腰为2x时,底为3x,那么有2x+2x+3x=56,
∴x=8,∴腰长为16.
变一变思路宽
例如图,点分别在正三角形的边上,且,交于点.求证:.
一、变结论
假设将题中“”与“”的位置交换,得到的结论是否仍是正确?
AC
A
C
N
Q
M
B
ACQMBN假设将题中的点分别移动到
A
C
Q
M
B
N
所以。。
所以.
三、变图形
ADNCBQM假设将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别在正方形的边上”,是否仍能得到?
A
D
N
C
B
Q
M
析解:原来是等边三角形变成了正方形,往往有的同学们在做了上面习题后,会猜测下面的结论也是成立的,但要经过推理、验证。
如图,
所以。
所以.
四、等腰三角形的证明题
图3例5如图3,△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连结DE并延长与AC的延长线交于点F,假设DE=EF,求证:BD=CF
证明:过D作DG∥AF交BC于G
图3
那么∠F=∠GDE,DE=EF,∠DEG=∠FEC
∴△DGE≌△FCE
∴GD=CF又∵AB=AC∴∠B=∠ACB又∵∠ACB=∠BGD
∴∠B=∠BGD
∴BD=GD
又∵GD=CF∴BD=CF
巧构等腰三角形妙解题
一、“角平分线平行线”构造等腰三角形
例1、如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E,假设BDCE=10,那么线段DE的长为_______
二、“角平分线垂线”构造等腰三角形
例2、如下图,在△ABC中,BM是∠ABC的平分线,AD⊥BM于点D,求证:∠BAD=∠DAC∠C
三、用“垂直平分线”构造等腰三角形
例3、如下图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点M,BD=8,求AC的长
四、用“三角形中2倍角的关系”构造等腰三角形
例4、如下图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠B=2
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