直线、平面垂直的判定及其性质-直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质.docVIP

课后训练

千里之行始于足下

1．平面α、β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()．

A．l∥β B．l?β

C．l与β相交 D．以上三种情况都有可能

2．给出下列四个命题：

①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．

其中正确的是()．

A．①③ B．②③ C．②③④ D．④

3．线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()．

A．30° B．45°

C．60° D．75°

4．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()．

A． B． C． D．

5．直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b

①a和b垂直于正方体的同一个面；

②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；

③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

6．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．

7．如图，已知PA⊥平面ABC，二面角A-PB-C是直二面角．求证：AB⊥BC.

8．如图，P是矩形ABCD所在平面α外一点，且PA⊥α，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：MN⊥CD.

百尺竿头更进一步

如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1

(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面

(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝

答案与解析

1.答案：D

解析：由题意知，以上三种情况都能满足α⊥β且l∥α.

2.答案：D

解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a?β或a∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．

3.答案：B

解析：过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以，，，所以，，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.

4.答案：B

解析：连接CM，则由题意PC⊥面ABC，可得PC⊥CM，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有，所以PM的最小值为.

5.答案：①②③

解析：①线面垂直的性质定理；②面面平行的性质定理；③平行公理．

6.答案：②③④?①或①③④?②

解析：如图所示，由α⊥β，n⊥β，m⊥α，得m⊥n.由m⊥n，n⊥β，m⊥α，得α⊥β.

7.证明：二面角A-PB-C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂足(如图)，则AD⊥平面CPB，又BC?平面CPB，所以AD⊥BC.

因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，

因此，BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，

所以AB⊥BC.

8.

证明：(1)设Q为CD中点，连接MQ、NQ，则MQ∥AD，NQ∥PD.

∵MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD，

而MN?平面MNQ，

∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥α，∴PA⊥CD.∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ.又∵CD⊥MQ且NQ∩MQ＝Q，∴CD⊥平面MNQ，

∵MN?平面MNQ，∴MN⊥CD.

百尺竿头更进一步

(1)证明：∵AB＝AC.D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∵底面ABC⊥平面BB1C

∴AD⊥侧面BB1C

∴AD⊥CC1；

(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N

∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.

∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C

∴C1N⊥侧面BB1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C

(3)解：结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，

∵截面MBC1⊥侧面BB1C

∴ME⊥侧面