有限元法及其应用 课件 3 平面问题有限元法.pptx

3平面问题的有限元法;位移函数的选取;相邻单元公共边界的变形情况;（3）几何各向同性——所取位移函数从一个笛卡尔直角坐标系线性变换到另一个坐标系要保持完备性与协调性不变。

选择以下的位移函数能满足单元的几何各向同性：

完全的n次多项式；

不完全的n次多项式，但含有保持“对称性”的合适的项。

;3节点三角形单元;3节点三角形单元;;;形函数的性质：

（1）形函数是坐标的函数，且与位移函数的形式相同。

（2）形函数在本节点上取值为1，在其余节点取值为零。即有如下表达式：;（3）在任意点(x,y)，形函数值的总和为1，即;帕斯卡（Pascal）三角形;节点3形函数N3(x,y)在节点1,2,4取0，由于形函数为双线性函数，固定一条边时，线性变化。因此，N3(x,y)在直边14和12都取0，即：;（1）单元应变矩阵;;有限元方程的建立;（3）虚功原理——弹性体变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。;计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。;总内虚功;外力在虚位移上所做的虚功：;单元e的节点位移向量为;单元外虚功;有限元方程的建立;对于平面问题的3节点三角形单元，刚度矩阵：

;有限元方程的建立;一厚度为h的平面薄片悬臂结构，承受一集中荷载P，求其变形及应变。现将该结构划分为4个单元，总共6个节点，单元及节点编号如图。;先计算单元①的刚度矩阵，单元节点应按逆时针顺序编号，节点i,j,m对应的节点编号为1，2，3。按节点分块，单元节点力与节点位移的关系为:;对于单元②，按逆时针方向取节点的顺序为2，5，3，即按节点顺序分块，其单元平衡方程为;对于单元③和④，因为其几何形状及节点排列的顺序与单元①完全相同，所以有;★2.整体刚阵的叠加;结构的基本方程为;基本方程含有12个方程，包含6个未知位移和6个未知约束反力是可以求解的。如只求位移，可将约束的位移条件代入（划行划线法）。;如节点4的约束反力;例题;单元②的各节点坐标为;单元②的应变矩阵为