【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第20讲-三角形中的几个巧合点.pdf

【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第20讲-三角形中的几个巧合点

第二十讲三角形中的几个巧合点

三角形中有几个有趣的巧合点,它们是三角形的内心、外心、重心、

垂心和旁心等．读者可以按以下各例的要求,用折纸的方法求出这五心,

也可以用规尺作图的方法作出五心．

例1证明：三角形三内角平分线交于一点,此点称为三角形的内

心．

已知：△ABC中,AX,BY,CZ分别是∠A,∠B,∠C的平分线,求证：

AX,BY,CZ交于一点(图3－110)．

证因为AX,BY是∠A,∠B的平分线,所AX,BY必相交于一点,设此

点为I(不然的话,AX,BY必平行,则∠BAX+∠YBA=180°,这是不可能的),

所I与AB,AC边等距,I与AB,BC边等距,所I与AC,BC边等距,所

I必在CZ上,所AX,BY,CZ相交于一点．

说明若证明几条直线共点,可先证其中两条直线相交,再证这个交点

分别在其余各条直线上,则这几条直线必共点于此交点．

由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等,所此交点为圆

心,以此点到各边的距离为半径作圆,此圆必与三角形三边内切,所以称此

交点为三角形内切圆圆心,简称内心．

例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点,此点称为三角形的

外心．

已知：△ABC中,XX′,YY′,ZZ′分别是BC,AC,AB边的垂直平分线,

求证：XX′,YY′,ZZ′相交于一点(图3－111)．

第1页共6页

【初中竞赛资料】九年级数学竞赛第20讲-三角形中的几个巧合点

分析仿照例1的思考方法,先证XX′,YY′交于一点O,再证O点必在

ZZ′上即可．

证因为XX′,YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线,所

XX′,YY′必相交于一点,设为O(否则,XX′∥YY′,那么∠C必等于

180°,这是不可能的)．因为OB=OC,OC=OA,所OB=OA,所O点必在AB

的垂直平分线ZZ′上,所XX′,YY′,ZZ′相交于一点．

说明由于O点与△ABC的三个顶点A,B,C距离相等,所O点为圆

心,OA长为半径作圆,此圆必过A,B,C三点,所以称此圆为三角形的外

接圆,O点称为三角形的外心．

例3证明：三角形的三条中线相交于一点,此点称为三角形的重

心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．

已知：△ABC中,AX,BY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线,求证：

AX,BY,CZ相交于一点G,并且AG∶GX=2∶1(图3－112)．

证设AX,BY交于一点G,作AG,BG中点D,E．由于X,Y分别是BC,AC

的中点,所XYDE,所,四边形DEXY为平行四边形,所

GD=DA=GX,GY=GE=EB,

所

AG∶GX=2∶1,BG∶GY=2∶1．

同理,若BY与CZ相交于一点G′,必有

BG′∶G′Y=2∶1,G′C∶G′Z′=2∶1,

所G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．

说明为什么称G点为△ABC的重心呢?这可以从力学得到解释．设△

ABC为一个质量均匀的三角形薄片,并设其重量均匀集中于A,B,C三点,

如果把B,C两点的重量集中于BC边中点X时,那么△ABC的三顶点

A,B,C的集中重量作了重新分配．若A点为1,则X点为2,因此在AX上

的重心支撑点必在AG∶GX=2∶1处的G点．这样一来,如果在G点支起三

角形,那么△ABC必保持平衡,所G点为三角形的重心(图3－113)．

第2页