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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第05讲-方程组的解法

第五讲方程组的解法

二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为

一元一次方程来解决．所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元

和加减消元两种,下面结合例题予以介绍．

例1解方程组

解将原方程组改写为

由方程②得x=6+4y,代入①化简得

11y-4z=-19．④

由③得

2y+3z=4．⑤

④×3+⑤×4得

33y+8y=-57+16,

所以y=-1．

将y=-1代入⑤,得z=2．将y=-1代入②,得x=2．所以

为原方程组的解．

说明本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代

入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系

数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单．

解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而

定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快．

例2解方程组

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解法1由①,④消x得

由⑥,⑦消元,得

解之得

将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以

解法2由原方程组得

所以

x=5-2y=5-2(8-2z)

=-11+4z=-11+4(11-2u)

=33-8u=33-8(6-2x)

=-15+16x,

即x=-15+16x,解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入

⑥得y=2．所以

为原方程组的解．

解法3①+②+③+④得

x+y+z+u=10,⑤

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由⑤-(①+③)得

y+u=6,⑥

由①×2-④得

4y-u=4,⑦

⑥+⑦得y=2．以下略．

说明解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅．

例3解方程组

分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程：

①+②得

x+u=3,⑥

②+③得

y+v=5,⑦

③+④得

z+x=7,⑧

④+⑤得

u+y=9．⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15．⑩

⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把

y=6代入⑦得v=-1．所以

为原方程组的解．

例4解方程组

解法1①×2+②得

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由③得

代入④得

为原方程组的解．

为原方程组的解．

说明解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消