【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第06讲-一次不等式.pdf

【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第06讲-一次不等式

第六讲一次不等式(不等式组)的解法

不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型．在概念方面,它与方程很类,

尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且数学的基本结果往往是一些不等式而

不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．

下面先介绍有关一次不等式的基本知识,然后进行例题分析．

1．不等式的基本性质

这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时,一定要注

意它与等式的类似性质上的差异,即当所乘(或除)的数或式子大于零时,不等号方向不

变(性质(5));当所乘(或除)的数或式子小于零时,不等号方向要改变(性质(6))．

2．区间概念

在许多情况下,可以用不等式表示数集和点集．如果设a,b为实数,且a＜b,那么

(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间,记作(a,b)．如图

1－4(a)．

(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间,记作[a,b]．如图

1－4(b)．

(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间,记作

(a,b](或[a,b))．如图1－4(c),(d)．

3．一次不等式的一般解法

一元一次不等式像方程一样,经过移项、合并同类项、整理后,总可以写成下面的标准

型：ax＞b,或ax＜b．为确定起见,下面仅讨论前一种形式．

一元一次不等式ax＞b．

(3)当a=0时,

第1页共7页

【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第06讲-一次不等式

用区间表示为(-∞,+∞)．

例1解不等式

解两边同时乘以6得

12(x+1)+2(x-2)≥21x-6,

化简得

-7x≥-14,

两边同除以-7,有x≤2．所以不等式的解为x≤2,用区间表示为(-∞,2]．

例2求不等式

的正整数解．

正整数解,所以原不等式的正整数解为x=1,2,3．

例3解不等式

分析与解因y2+1＞0,所以根据不等式的基本性质有

例4解不等式

为x+2＞7,解为

x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．

解将原不等式变形为

解之得

所以原不等式的解为x＞5且x≠6．

例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x),且y＜x+9,试比较

解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得

第2页共7页

【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第06讲-一次不等式

y＜-10+9,即y＜-1．

例6解关于x的不等式：

解显然a≠0,将原不等式变形为

2

3x+3-2a＞a-2ax,

即

(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．

说明对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论．

例7已知a,b为实数,若不等式

(2a-b)x+3a-4b＜0

解由(2a-b)x+3a-4b＜0得

(2a-b)x＜4b-3a．

由②可求得

将③代入①得

所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为

第3页共7页

【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第06讲-一次不等式

因为b＜0,所以

下面举例说明不等式组的解法．