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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第11讲-线段与角

第十一讲线段与角

线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念,这两个概念在日常生活中有着

广泛的应用．

小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店,他从家出发向文

具店走去,走到一半发现忘了带钱,又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多

长的路程?

在高层建筑中,一般都设有电梯,人们上楼一般都乘坐电梯,你想过吗,设计电梯与

线段的什么性质有关?

钟表是大家熟悉的计时工具,你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重

合?什么时候时针与分针成90°角?

我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题,不少问题很有趣,也颇

费脑筋,对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．

例1已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E,F分别是AB和CD的中点,且EF=12厘米(cm),求

AD的长(如图1－6)．

分析线段EF是线段AD的一部分,题设给出了EF的长度,只要知道线段EF占全线段

AD的份额,就可求出AD的长了．

解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E是AB中点,F是CD中点,将线段AD9等分(9=2+3+4)

且设每一份为一个单位,则AB=2,BC=3,CD=4,EB=1,CF=2．从而

EF=EB+BC+CF=1+3+2=6,

例2在直线l上取A,B两点,使AB=10厘米,再在l上取一点C,使AC=2厘米,M,N分

别是AB,AC中点．求MN的长度(如图1－7)．

分析因为是在直线上取C点,因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左

侧．

解若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米,N为AC中点,所以AN=1

厘米;又AB=10厘米,M为AB中点,所以AM=5厘米．则

MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．

若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上),此时

MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图1－7(b))．

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线段的最基本性质是两点之间线段最短”,这在生活中有广泛应用．前面所提到

的高层建筑所设电梯的路线,就是连接两层楼之间的线段,而楼梯的路线则是折线,电

梯的路线最短．

例3如图1－8所示．在一条河流的北侧,有A,B两处牧场．每天清晨,羊群从A出发,到

河边饮水后,折到B处放牧吃草．请问,饮水处应设在河流的什么位置,从A到B羊群

行走的路程最短?

分析将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇,则羊群行走

路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇,由对称性知C＇A＇=C＇A．

因此,羊群行走的路程为

A＇C＇+C＇B．

线段A＇C＇与C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知,连结点

A＇与点B之间的线中,线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么,C点就是

所选的最好的饮水地点,下面我们来说明这一点．

解作A关于直线l的对称点A＇．连结B,A＇,并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l

上不同于C的另外一点,只要证明

AC＇+C＇B＞AC+CB①

即可．

利用线段基本性质及点关于直线的对称性知

AC＇=C＇A＇及CA=CA＇,

所以

AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B,

AC+CB=CA＇+CB=A＇B．

而C＇A＇与C＇B是连结A＇,B的折线,而A＇B则是连结这两点之间的线段,所以

C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB,

从而①成立,即选择C点作为羊群的饮水点,羊群的行程最短．

例4将长为10厘米的一条线