【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第21讲-应用问题的解题技巧.doc

【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第21讲-应用问题的解题技巧

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第二十一讲应用问题的解题技巧

应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧．

1．直接设未知元

在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．

例1某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．

分析本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数．由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．

由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6,①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为

(x+6)+2(x+6)．②

由①,②自然可列出方程．

解设未参加的学生有x人,则根据分析,①,②两式应该相等,所以有方程

(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,

所以

x+6+2x+12=4x-6,

所以3x+18=4x-6,

所以x=24(人)．

所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有

3×24=72(人)．

全年级有学生

4×24=96(人)．

说明本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为

例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做做多少个零件?

定期是多少天?

分析若直接设这个工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做

另一方面,如果他每天少做5个,则要增加3天工期,因此,

显然,将此两式联立,解出x,y即可．

解设工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做x/y个,依分析有方程组

整理得

②×2+①得

将x=50y代入②得

y=27,x=50y=1350,

答工人要做1350个零件,定期为27天．

例3一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?

解设起初有汽车m辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2,n≤32,依题意有

22m+1=n(m-1)．

所以

因为n为自然数,所以23/m-1为整数,因此

m-1=1,或m-1=23,

即m=2或m=24.

当m=2时,n=45(不合题意,舍去);当m=24时,n=23(符合题意)．

所以旅客人数为：

n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．

答起初有汽车24辆,有乘客529人．

注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论．

2．间接设元

如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法．

例4若进货价降低8％,而售出价不变,那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％,求p．

分析本题若直接设未知元为x,则不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变,它可用以下方程式表示：

x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．

解设原进货价为x,则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变,故有以下方程

x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)],

约去x得

1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］,

所以

1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,

所以

(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,

即0.0008p=0.012,

所以p=15．

答原利润为15％．

例5甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长．

分析与解如图1－76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别