【初中竞赛资料】初一数学竞赛班讲义26讲（教师版、约188页）.pdf

【初中竞赛资料】初一数学竞赛班讲义26讲（教师版、约188页）

初一数学竞赛班讲义

一、有理数巧算

二、绝对值

三、代数式求值

四、一元一次方程

五、方程组

六、一次不等式

七、绝对值方程

八、不等式的应用

九、设而不求

十、整式乘除

十一、线段与

十二、平行线问题

十三、内角和

十四、面积问题

十五、奇数与偶数

十六、质数与合数

十七、二元一次不定方程

十八、加法原理与乘法原理

十九、几何计数

二十、从算数解到代数解

二十一、应用题解题技巧

二十二、应用题实例分析(一)

二十三、应用题实例分析(二)

二十四、复习题

二十五、自测题

二十六、希望杯真题讲解

一、有理数巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基

础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算

相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活

性．

1．括号的使用

在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂

的问题变得较简单．

例1计算：

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分析中学数学中,由于负数的引入,符号+”与-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符

号,也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤

其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算．

例2计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单．本题可将第一、第四项

和第二、第三项分别结合起来计算．

解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1000000．

说明加括号的一般思想方法是分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧．

例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．

分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1”或为-1”．如果按照将第一、第二项,

第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的-1”,于是一改去括号”的习惯,而取

添括号”之法．

解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．

下面需对n的奇偶性进行讨论：

当n为偶数时,上式是n／2个(-1)的和,所以有

n+1

当n为奇数时,上式是(n-1)／2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)·n=n,所以有

例4在数1,2,3,…,1998前添符号+”和-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

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分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符

号+”或-”,不会改变和的奇偶性．在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以

任意添加符号+”或-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号+”或-”,显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即