2025届高考数学一轮复习近8年真题分类汇编专题2基本不等式.docVIP

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专题2—基本不等式

考试说明：1、了解基本不等式的证明过程；

会用基本不等式解决简洁的最大值、最小值问题

高频考点：1、利用基本不等式求最大值、最小值问题；

2、以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。

在高考中本专题一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现在解答题的某一问中，有肯定的难度。同学们在学习过程中留意总结题型及其方法。

典例分析

1．（2024?上海）下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

2．（2024?乙卷）下列函数中最小值为4的是

A． B． C． D．

3．（2015?上海）已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

4．（2015?福建）若直线过点，则的最小值等于

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（2015?湖南）若实数，满意，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

6．（2014?重庆）若，则的最小值是

A． B． C． D．

7．（2013?山东）设正实数，，满意．则当取得最大值时，的最大值为

A．0 B．1 C． D．3

8．（2024?天津）已知，，且，则的最小值为．

9．（2024?江苏）已知，则的最小值是．

10．（2024?天津）设，，，则的最小值为．

真题集训

1．（2013?福建）若，则的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

2．（2012?浙江）若正数，满意，则的最小值是

A． B． C．5 D．6

3．（2012?陕西）小王从甲地到乙地的来回时速分别为和，其全程的平均时速为，则

A． B． C． D．

4．（2024?山东）（多选）已知，，且，则

A． B．

C． D．

5．（2024?上海）若，，且，则的最大值为．

（2024?天津）已知，，且，则的最小值为．

（2017?天津）若，，，则的最小值为．

（2011?湖南）设，，且，则的最小值为．

（2014?浙江）已知实数，，满意，，则的最大值是．

10．（2011?浙江）设，为实数，若，则的最大值是．

11．（2011?浙江）若实数，满意，则的最大值是．

（2011?重庆）若实数，，满意，，则的最大值是．

典例分析答案

1．（2024?上海）下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

分析：利用恒成立，可干脆得到成立，通过举反例可解除．

解答：解：．明显当，时，不等式不成立，故错误；

．，，，故正确；

．明显当，时，不等式不成立，故错误；

．明显当，时，不等式不成立，故错误．

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．

2．（2024?乙卷）下列函数中最小值为4的是

A． B． C． D．

分析：利用二次函数的性质求出最值，即可推断选项，依据基本不等式以及取最值的条件，即可推断选项，利用基本不等式求出最值，即可推断选项，利用特别值验证，即可推断选项．

解答：解：对于，，

所以函数的最小值为3，故选项错误；

对于，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以等号取不到，

所以，故选项错误；

对于，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值为4，故选项正确；

对于，因为当时，，

所以函数的最小值不是4，故选项错误．

故选：．

点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在运用基本不等式求解最值时要满意三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．

3．（2015?上海）已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

分析：依据基本不等式的性质推断即可．

解答：解：，，且，

，

有最小值，

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．

4．（2015?福建）若直线过点，则的最小值等于

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：将代入直线得：，从而，利用基本不等式求出即可．

解答：解：直线过点，

，

所以，

当且仅当即时取等号，

最小值是4，

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的性质，求出，得到是解题的关键．

5．（2015?湖南）若实数，满意，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

分析：由，可推断，，然后利用基础不等式即可求解的最小值

解答：解：，

，，

（当且仅当时取等号），

，

解可得，，即的最小值为，

故选：．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简洁应用，属于基础试题

6．（2014?重庆）若，则的最小值是

A． B． C． D．

分析：利用对数的运算法则可得，，再利用基本不等式即可得出

解答：解：，，

．

，

，，．

，

，

则，当且仅当取等号．

故选：．

点评：本题