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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第19讲特殊化与一般化

第十九讲特殊化与一般化

特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时,从考虑一组给定的

对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象．也就是为了解答一般问

题,先求解特例,然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题．

另外,特殊化、一般化和类比联想结合起来,更可以由此及彼地发现

新命题、开拓新天地．

1．特殊化、一般化和类比推广

命题1在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高(图2-102),则有

2

CD=AD·BD．

这是大家所熟知的直角三角形射影定理．

类比命题1,如果CD是斜边上的中线,将怎样?由此得到命题2．

命题2在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的中线(图2-103),则有

CD=AD=BD．

这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持

2

CD=AD·BD)．

再类比,如果CD是∠C的平分线,将怎样?于是得到命题3．

命题3在△ABC中,∠C=90°,CD是∠C的平分线(图2-104),则有

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这是一个新命题,证明如下.

引DE⊥BC于E,DF⊥AC于F．

因为

所以

我们把命题1、命题2、命题3一般化,考虑D点是AB上任一点,便产生

了以下两个命题．

命题4在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一内分点(图2-105),则

有

证引DF⊥AC于F,DE⊥BC于E．因为

2222

CD-BD＝CE-BE=(CE-BE)BC,

而

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所以

所以

即

命题5在△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上的任一外分点(图2—106),

则有

证只要令命题4之结论中AD为-AD,则有

我们再把命题4和命题5特殊化,令D点与A点重合(即│AD│=0),那么

无论是①式或②式都有

222

AB=BC+AC.

这就是我们熟知的勾股定理．

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命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的,因此,它们也可称

作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．

定理在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,a在c上的射影为n,

时,取-”号,∠B为钝角时,取＋”号)．

证我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．

为此,我们作图2-109,其中∠DBA=90°,CD=x,CE⊥DB于E,并设CE=n．由

命题4,立得

得

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所以

2222

b=a+c-cn．

同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．

2．特殊化、一般化在解题中的应用

例1设x,y,z,w为四个互不相等的实数,并且

2222

求证：xyzw=1

分析与解我们先考虑一个特例,只取两个不同实数,简化原来命

(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上,因为

又因为

到

原命题,由