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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第29讲生活中的数学(1)

第二十九讲生活中的数学(三)

——镜子中的世界

在日常生活中,人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂,常常要照镜

子．如果镜面是很平的,那么在镜子中,人或物体与其像是完全一样

的．而且我们都有这样的经验：当人走近镜面,人在镜中的像也走进镜面;当

人远离镜面,人在镜中的像也远离镜面．如果你留心的话,就可以发现：

人和像与镜面的距离保持相等(图2-155),这种现象叫作面对称．如果我

们只取一个侧面,那么镜面就可用一条直线来表示,人和人在镜中的像可

用一个平面图形来表示,这样,人、像与镜就成了轴对称,也叫直线对称

(图2-155)．

如果实物是△ABC,那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′．直线l表

示镜,这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156)．图中,A与

A′,B与B′,C与C′是对称点．以对称点为端点所连结的线段

AA′,BB′,CC′被对称轴l垂直平分,因此,如果以直线l为折痕,把△

ABC翻折过来,它必与△A′B′C′重合,所以成轴对称的两个图形必全

等．

例1设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a)),试以直线l为对称轴,

画出整个蝴蝶来．

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解为了画出整个蝴蝶,只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形

就可以了．因为A点、F点在直线l上,所以它们的对称点分别和A,F是

同一点,这样,只要画出B,C,D,E关于l的对称点就行了．为此,先分别过

B,C,D,E向l作垂线,设垂足分别为M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延长

线上取B′,C′,D′和E′点,使得B′M=MB,C′N=NC,D′P=PD,E′Q=QE,

最后连结AB′,B′C′,C′D′,D′E′,E′F,于是就得到完整的蝴蝶形

ABCDEFE′D′C′B′了(图2-157(b))．

例2设直线l和直线l平行,且l和l间的距离为a．如果线段AB在l

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的右侧,并设AB关于l的对称图形是A′B′,而A′B′关于l的对称图

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形是A″B″(图2-158),那么,线段AB和A″B″有什么关系?

解因为l平行于l,并且AA′A″垂直于l,当然也垂直于l,同理

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BB′B″也垂直于l和l．我们知道：在平面内垂直于同一条直线的两

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条直线互相平行”,所以

AA′A″∥BB′B″．①

另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以

AA′A″＝2PP′=2a,

同理BB′B″=2a,所以

AA′A″=BB′B″．②

通

过例2,我们可知,如果在平面上两条直线互相平行,有一个图形以这两条

直线为对称轴,连续作了两次轴对称移动,那么相当于这个图形作了一次

平行移动,平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍．

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如果我们反复利用例2的原理,就可以做成带形的花边图案．例如,我们

把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来,并在上面用小刀刻出