第六章线性方程组的迭代解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptxVIP

第六章线性方程组迭代解法第二节迭代法收敛性上一页下一页返回第三节超松弛迭代法第一节基本迭代方法1第1页

§1基本迭代方法上一页下一页返回一、问题提出1．直接方法缺点(以Gauss消去法为代表)：对于低中阶数（n≤100）线性方程组十分有效，但n很大时，尤其是由一些微分方程数值解所提出来线性方程组，因为舍入误差积累以及计算机存贮困难，直接方法却无能为力。2．处理方法：（利用迭代方法）迭代方法：把线性方程组数值求解问题化为一个迭代序列来实现。2第2页

上一页下一页返回详细做法(2)取任意初始向量x(0)组成迭代序列:迭代格式：定义：迭代矩阵：3第3页

上一页下一页返回迭代过程收敛：若序列{x(k)}极限存在，称此迭代过程收敛，不然称为发散。3.需要讨论问题：怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误差分析，怎样加紧收敛速度等等。迭代法计算精度可控，尤其适合用于求解系数矩阵为大型稀疏矩阵/*sparsematrices*/方程组。因为迭代方法能防止系数矩阵中零元存贮与计算，尤其适合用于解系数矩阵阶数很高而非零元极少（即大型稀疏）线性方程组。4第4页

二、Jacobi（雅可比）迭代法建立迭代格式：能够缩写为：按此格式迭代求解方法称为雅可比迭代法,简称J法。上一页下一页返回5第5页

例1用雅可比迭代法解线性方程组解生成雅可比迭代格式：kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.830.8420.9711.071.15……………….……111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997上一页下一页返回从上表能够看出，迭代序列收敛于x*，若取x(12)作为近似解，则误差不超出10-56第6页

写成矩阵形式：BJacobi迭代阵，简记为BJ上一页下一页返回7第7页

三、Gauss–Seidel（高斯—塞德尔）迭代法…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵，简记为BGS上一页下一页返回8第8页

Gauss-Seidel迭代法分量形式为：上一页下一页返回例2分别给出以下线性方程组Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式：解原方程等价于9第9页

上一页下一页返回建立Jacobi迭代格式以下建立Gauss-Seidel迭代格式以下10第10页

上一页下一页返回例3用高斯-塞德尔迭代法求解例1中方程组建立Gauss-Seidel迭代格式解迭代8次可得在本例中Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快。这个结论在多数情况下成立，但高斯-塞德尔收敛更加快是有条件。注：两种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。11第11页

§2迭代法收敛性收敛条件迭代法收敛充要条件:上一页下一页返回定理一、普通迭代法收敛性12第12页

上一页下一页返回例4设方程组系数矩阵为判别Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代是否收敛。解Jacobi迭代矩阵为13第13页

上一页下一页返回所以，Jacobi迭代法发散。高斯-塞德尔迭代矩阵为所以，高斯-塞德尔迭代法收敛。困难：详细问题中，极难计算。14第14页

定理（充分条件）若存在一个矩阵范数使得||B||1,则迭代收敛，且有以下误差预计：①②证实：①?②上一页下一页返回15第15页

上一页下一页返回①上述定理只是判别迭代格式收敛充分条件，但若，则不能下结论说迭代法发散，只能用进行判断。②由上述定理知‖B‖越小，收敛越快。同时可取得迭代解事后误差预计，当（即迭代法收敛较快）时，可用以下停机准则控制迭代结束：注意：16第16页

上一页下一页返回解：按照迭代公式有：所以，J法和GS法必收敛，而且，GS法比J法收敛快。17第17页

上一页下一页返回由此可见，实际计算结果也表明GS比J法收敛快。18第18页

上一页下一页返回二、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛性1