《复变函数与积分变换》课件 第5章 留数.ppt

*****************************************的内部，由留数定理，得例3解求其中是的根，且二、形如的积分其中为一有理函数，为多项式，方程没有实根，即的次数至少要高两次。在实轴上没有孤立奇点，且的次数比则设c为圆周的上半圆周，函数在c上连续，且证令则因为所以对任给,当充分大时，有引理1于是即■对于上述类型的积分有如下计算公式这里f(z)满足：f(z)无实奇点，奇点，且在上半平面内只有有限多个利用以上公式计算积分时通常有两个步骤：（1）判断是否是上述类型a．积分限是否从到？能否化得？奇点？b．在上半平面是否只有有限个孤立在实轴上是否无奇点？c．等式是否成立？在上半平面奇点处的留数，（2）计算然后代入上述公式就得结果。显然结果必然是实数，如果是复数，说明计算有误。计算积分例2.3解第(1)步，显然这是型积分，因为a．积分限是从到b．并且在实轴上无奇点；可见在上半平面只有一个二级极点，c．第(2)步，留数计算在上半平面奇点处的所以，例2.4计算积分解由于被积函数是的偶函数，所以有这样积分限化成了从到进一步验证符合以上积分类型.扩充到复数后可写成可见在上半平面只有一个三级极点所以三、形如的积分其中为多项式，的次数比的次数高，实根，且方程没有即f(z)在实轴上没有奇点，为正实数。计算此类积分的方法类似于第二类积分。引理2函数设c为圆周的上半圆周，在c上连续，且则(证略)对于上述类型的积分有如下计算公式（2.2）取上半圆周事实上，由实线段及组成一条封闭曲线c，平面内的一切孤立奇点取充分大的R，使c所围区域包含在上半数定理，因此由留有即（2.3）因为的次数比次数高，即且所以由引理2，得在（2.3）中，令两端取极限，即得另外，由于所以于是要计算积分或只要求出积分的实部或虚部即可。即当时，（2.4）（2.5）计算积分例2.5解令就可写成,这样被积函数相应于积分限从到并且显然有是上述类型的积分，所以该积分可利用公式（2.5）计算。可写成如下形式由此可见，在上半平面有两个单极点与在这两点的留数分别为将所得留数代入（2.5）式得：例2.6计算积分解令这样被积函数就可形式，写成由于被积函数是偶函数，所以有积分限化为从到又显然于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算可写成易见，在上半平面只有一个二级极点计算在点的留数将这个留数代入（2.4）式得：***********第五章留数§5.1留数定理及留数的求法§5.2用留数定理计算实积分留数与解析函数在孤立奇点处的罗朗展开式有密切的关系，应用留数定理就可以比较容易地计算一些实函数的积分。这些积分中的一部分，过去在实函数中已经计算过，但比较复杂，这里将用统一的方法来处理。§5.1留数定理及留数的求法一、留数的概念由柯西积分定理知道，一般不等于零，一条包含的简单闭曲线。其中c为的邻域内的任意一条简单闭曲线。为的孤立奇点，那末但若内任其中c为在如果函数的邻域内解析，那末,事实上，在孤立奇点的去若函数内解析，心邻域则它可在该去心邻域内展开成Laurent级数两端沿c逐项积分，注意到得由此可见，Laurent展开式中负一次幂项的系数是在逐项积分过程中唯一留下的系数。定义1设f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内解析，c为该邻域内内部包含z0的任一正向简单闭曲线，为f(z)在点z0的留数，则称积分记为即（1.1）显然，就f(z)在孤立奇点z0的留数是f(z)在z0的去心邻域内罗朗展开式中负一次幂的系数项例1.1求解的孤立奇点，是函数在内的Laurent展开式为：所以负一次幂项的系数即求解的去心邻域内的罗朗展开式为：的孤立奇点，是函数在故负幂次项的系数，即例1.2若孤立奇点z0为f(z)的可去奇点，则函数在处有一个二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：，（1.2）所以“