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2001年全国初中数学联赛试卷

2001年全国初中数学联赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

1．，，为有理数，且等式成立，则的值是（）

A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定

2．若，且有及，则的值是（）

A． B． C． D．

3．如图，在中．，，，则（）

A． B． C．0.3 D．

4．如图，在中，是边上一点，下面四种情况中，一定成立的情况是（）

A． B．

C． D．

5．①在实数范围内，一元二次方程的根为；

②在中，若，则是锐角三角形；

③在和△中，、、分别为的三边，、、分别为△的三边，若，，，则的面积大于△的面积．

以上三个命题中，真命题的个数是（）

2001年全国初中数学联赛试卷全文共1页，当前为第1页。A．0 B．1 C．2 D．3

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6．某商场对顾客实行优惠，规定：

（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；

（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）

A．522.8元 B．510.4元 C．560.4元 D．472.8元

二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）

7．已知点在直角坐标系中的坐标为，为坐标原点，，且到的距离为2，则的坐标为．

8．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点，则点到两圆外公切线的距离为．

9．已知、是正整数，并且，，则．

10．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数．则这个正整数为．

三、解答题（共7小题，满分70分）

11．（10分）在直角坐标系中有三点，，；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为、、．试求，的值使得达到最小值．

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12．（10分）（1）证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么、、都是整数．

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（2）写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．

13．（10分）如图，、是边上的两点，是延长线上一点，．

（1）判断的外接圆与的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若的外接圆半径是的外接圆半径的2倍，，，求的长．

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14．（10分）如图，是正方形的内接四边形，两条对角线和相交于点，且它们所夹的锐角为，与都是锐角，已知，，四边形的面积为，

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（1）求证：；

（2）试用、、来表示正方形的面积．

15．（10分）求所有的正整数，，，使得关于的方程，，的所有的根都是正整数．

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16．（10分）在锐角中，，为垂足，，为垂足，，为垂足．为的外心．

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求证：（1）；（2）．

17．（10分）如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、、、及的延长线分别相交于点、、、和，求证：．

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