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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第01讲-有理数的巧算

第一讲有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概

念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于

根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从

而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．

1．括号的使用

在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算

的次序,使复杂的问题变得较简单．

例1计算：

分析中学数学中,由于负数的引入,符号+”与-”具有了双重涵义,它既是表示加法

与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时,一定要

正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计

算．

例2计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单．本题可

将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

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解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1000000．

说明加括号的一般思想方法是分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧．

例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．

分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1”或为-1”．如果按照将

第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的-1”,于是

一改去括号”的习惯,而取添括号”之法．

解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．

下面需对n的奇偶性进行讨论：

当n为偶数时,上式是n／2个(-1)的和,所以有

n+1

当n为奇数时,上式是(n-1)／2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)·n=n,所以有

例4在数1,2,3,…,1998前添符号+”和-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是

多少?

分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之

前任意添加符号+”或-”,不会改变和的奇偶性．在1,2,3,…,1998中有1998÷2

个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号+”或-”之后,所得的代数和总为奇数,

故最小非负数不小于1．

现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号+”或-”,显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．

所以,所求最小非负数是1．

说明本例中,添括号是为了造出一系列的零”,这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

22

=100-2．

这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为

2222

(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b．

于是我