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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第09讲-“设而不求”的未知数

第九讲设而不求”的未知数

让我们先看一道简单的数学题．

三角形的面积．

解设这个三角形的斜边长度为c,因为斜边上的中线长是1,所以斜边长c=2．再设两

条直角边的长度是a,b,面积是S,那么

2

a+b+2ab=6．④

2

把②,③代入④式得

4+4S=6,

在这个题目中,只要求出未知数S的值,而我们却设了三个未知数：a,b,S,并且在解题

过程中,我们也根本没求a,b的值．但是由于增设了a,b后,给我们利用等量关系列方

程及方程组求S的值,带来了很大的便利,像这种未知数(如a,b)就是本讲所要介绍的

设而不求”的未知数．

所谓设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,

它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用．

例2若

求x+y+z的值．

分析已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连比．

解令

则有

x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a),

所以

x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,

所以x+y+Z=0．

说明本例中所设的k,就是设而不求”的未知数．

例3已知p,q,r都是5的倍数,r＞q＞p,且r=p+10,试求

解不妨设p=5k,q=5k,r=5k,由题意可知,k,k,k都是整数．因为r＞q＞p,所以

123123

k＞k＞k．又因为

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r=p+10,

所以5k=5k+10,

31

k=k+2,①

31

所以k+2＞k＞k,

121

所以k=k+1．②

21

将①,②代入所求的代数式得

说明本题中k,k,k均是设而不求”的未知数．

123

a＞1,并且设

分子：n-13=ak1,①

分母：5n+6=ak2．②

其中k,k为自然数．

12

由①得n=13+ak,将之代入②得

1

5(13+ak)+6=ak,

12

即71+5ak=ak,

12

所以a(k-5k)=71．

21

由于71是质数,且a＞1,所以a＝71,所以

n=k·71+13．

1

故n最小为84．

例5甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余