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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第13讲-从三角形内角和谈起

第十三讲从三角形内角和谈起

三角形的内角和等于180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可

出下面两个事实：

(1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和．

如图1－35所示．延长三角形的三条边,由三角形一条边

及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1－35中的

∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6．由于

∠1+∠ABC=180°(平角),

又

∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°,

所以

∠1=∠BAC+∠BCA．

同法可证

∠3=∠BAC+∠ABC,

∠5=∠ABC+∠ACB．

(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°．

如图1－36所示．以n边形A1A2…An的某一个顶点(如A1)为共同顶点,将这个n边形

分割成”n-2个三角形△A1A2A3,△A1A3A4,…,△A1An-1An．由于每一个三角形的内角和

等于180°,所以,这n-2个三角形的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)×180°(详

证见后面例6)．

三角形内角和等于180°这个事实有着广泛的应用．

例1如图1－37所示．平面上六个点A,B,C,D,E,F构成一个封闭折线图形．求：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．

分析所求的六个角分布在三个三角形中,但需减去顶点位于P,Q,R处的三个内角,由图

形结构不难看出,这三个内角可以集中到△PQR中．

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解在△PAB,△RCD,△QEF中,

∠A+∠B+∠APB=180°,①

∠C+∠D+∠CRD=180°,②

∠E+∠F+∠EQF=180°．③

又在△PQR中

∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°．④

又∠APB=∠QPR,∠CRD=∠PRQ,

∠EQF=∠PQR(对顶角相等)．

①+②+③-④得

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

说明依据图形的特点,利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中,是利用

三角形内角和性质的前提．

例2求如图1－38所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．

分析如果我们注意力放在三角形内角和上,那么

∠ABE=∠ABO+∠OBE,

∠AEB=∠AED+∠OEB．

而∠ABE,∠AEB属于△ABE,∠OBE,∠OEB属于△OBE,再注意到△OBE及△ODC中,因

∠BOE=∠COD(对顶角),因而,∠D+∠C=∠OBE+∠OEB．从而,可求出题中五角和．

解法1连接BE．在△COD中,

∠C+∠D+∠COD=180°．①

在△ABE中,

∠A+∠ABE+∠AEB=180°．②

①+②得

(∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=360°．③

又

∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE,

∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB．

故③式可化为

(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)

+(∠COD+∠OBE+∠