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一部数的历史——从自然数到复数

[摘要]人们在生产活动中，为了计量物品的个数，产生了自然数的概念，

从对物品的分割中有了分数，为了表示相反意义的量引进了正负数，对连续的量

进行度量时，引进了无理数，从负数不能开方出发引进了虚数，并把实数扩展到

复数。

[关键词]数的概念数觉计数十进位分数

完全没有数的概念的思维是不可想象的，有确凿的证据表明，数字的产生比

有文字记载的历史还要早几千年。

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但是人类在进化的蒙

昧时期，就已经具有一种才能，当在一个小的集合里面增加或者减去一样的东西

的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化，这种才能可

被称为数觉。许多鸟类是具有这种数觉的，鸟巢若是有四个卵，那么可安然拿去

一个，但是，如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了，一种比鸟类好不了多少的原

始的数觉，就是我们产生数的概念的核心，毫无疑问，如果人类单凭这种直接的

数的知觉，在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步，但是经历了一系列的特殊

环境，人类在有限的数的知觉之外学会了另一种技能来为之帮忙，这种技巧使他

们未来的生活受到巨大的影响，这技巧就是计数。在使用文字之前，人们用结绳

计数，后来又用象形计数，正是计数才使具体的不同质的表达多少的概念结合为

统一的抽象的数的概念，而数的概念正是数学发展的前提。粗略地说，数学是数

量的科学，而数是数出来的，有了度量才能对量有所认识。并且，正是由于数的

观念，我们才赢得了用数来表达我们世界的惊人成就。

数的科学在人类知识的总体里占有举足轻重的地位。数学是数的科学，它是

数量这个概念出发的，数的概念虽然很早就已发生，但和语言文学一样，它的发

展也经过了一个漫长的过程。

自然数的问世

自然数的产生起源于人类在生产活动中计数的需要，开始只有几个很少的自

然数，后来随着生产力的发展和计数方法的改进，人类的文化也有了越来越多的

自然数，我们从年幼时代开始就学习和运用自然数，并且通过自然数的不断接触，

逐步深化了对自然数的认识。人们在数各种集合中的事物时发现数与被数物的各

自特性无关。“五”这个数包含一个事物的实际抽象，它与这些东西的特性或者所

引用的符号无关。这样，数的概念的抽象特性愈加显得清晰。自然数是这样的一

些数，每个数的后面跟随着一个确定的数，从1开始，可以把他们一个跟随一个

地排成一串，既不重复，也不遗漏，对于这些自然数人们还进行加法乘法等运算。

像1、2、3、4、5、……，这样的数叫做自然数。自然数的问世是从现实世界中

得出的第一个数的系统。自然数的运算如1+2、2+3、1×2、2×3、……

第一次扩张：从自然数到分数

显然，在自然数之间可以无阻碍的进行加法运算和乘法运算，随着生产、生

活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的，但人们在生产实践中又

遇到一类新的问题，就拿量布来说吧，有一块布用尺量了有五尺还有剩余，而又

不足六尺，那么这块布的长既不能用五尺又不能用六尺表示，但在五和六之间再

也没有其他自然数。同时在数的实际运用中不但需要对数做加法和乘法，而且往

往需要考虑减法和除法。任意两个自然数相加或相乘其结果还是一个自然数，但

两个自然数相除其结果就不一定了，比如三个人平分吃五个西瓜，问每个可分得

多少？像这样的问题就不能用自然数的除法来解决，也就是说除得的商不再是一

个自然数了。用什么数来表示这类量呢？为了解决这个矛盾，引进了新的数——

分数来解决除法问题。用“几分之几”表示不足1的数。从历史上来看，分数的发

现是比较早的，大约在公元前1700年，埃及有个叫亚斯麦的人，他写的一本《算

术》的书，其中就介绍了表示分数的符号，人们对于分数的认识首先是从“单一

分数”开始的，所谓单一分数是分子为1分母为任意自然数的分数，如、、等，而

一分钟又是小时，后来在计算实践中又出现了分子分母是任意自然数的分数叫做

普通分数，如、。总之分数概念的引入，担当了表示连续分割量的重要角色，同

时也解决了自然数除法不能完全解决的矛盾。

从自然数开始到分数概念的产生，这是数的概念的第一次扩张。

分数的出现是数的概念的第一次扩张，但是随着社会实践的宽广和复杂，对

于事物形与量的处理也越来越要求精确化了。公元1582年，罗马帝国的统治者

下令，从日历上“抹”去了10天，他们把1582年10月4日之后的一天写为10月

15日。罗马统治者为什么要这样呢？原来