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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第20讲类比与联想

第二十讲类比与联想

类比就是根据两种事物一部分类似的性质,推测这两种事物其他类似

性质的推理方法．例如,由分数的性质类似地推测分式的性质;由直线与

圆的位置关系推测圆与圆的位置关系;由一次函数、一次方程、一次不等

式的某些性质和解法,推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似

的性质与解法等．

联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一

个数学问题时,常常想起与它类似的问题、类似的解法,从而有利于新问

题的解决．

利用类比与联想,常常可以发现新命题和扩展解题思路．

1．类比与发现

例1已知：△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,BD是AC边上的中线,E点在AB

边上,且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．

解引CF⊥BA于F,由于BC=AC,所以CF是底边AB上的中线．因为H为△

ABC的重心,所以

因为∠C=∠BDE=90°,所以

∠ADE=∠CBH．

又∠A=∠BCH=45°,可知△ADE∽△CBH．所以

类比如果保留例1中等腰三角形诸条件,去掉直角这一特殊性,那么是否

会产生类似的命题呢?由此想到例2．

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例2如图2-114．已知△ABC中,∠C=4∠B=4∠A,BD是AC边上的中线,E

点在AB上,且∠AED=∠C,S△ABC=1,求S△AED．

解类似例1的解法,引CF⊥AB于F,交BD于H,显然△ADE不相似于△

CBH．但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A,

则

∠A=∠B=30°,∠C=120°．

由于CF平分∠C,所以

∠ACF＝60°．

又因为∠AED=∠ACB,∠A=∠A,所以

△ADE∽△ABC,

所以

由于△AFC中∠AFC=90°,∠A=30°,所以若设CF=x,则

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类比如果保留例1中的直角等条件,去掉等腰三角形这一特殊性,可以类

似地得到例3．

例3已知△ABC中∠C=90°,AC=2BC=2,BD是AC边上的中线,CF⊥AB于F,交

BD于H(图2-115)．求S△CBH．

解本题直接求S△CBH有些困难,联想例1、例2中的△ADE,不妨引辅助线

DE⊥BD交AB于E．

由于AC=2BC=2,D是AC的中点,且∠C=∠BDE=90°,所以

∠CBH=∠ADE=45°．

因为CF⊥AB于F,所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1,所以

△CBH≌△ADE,

所以S△CBH=S△ADE.

因此只要求出S△ADE即可,为此,设DE=x,则

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(2)例3由例1类比而来,最自然的想法是求S△ADE,为增加难度与变换

方式获得新命题,故例3反求S△CBH．

我们知道一个三角形的三边如果是a,b,c,那么就有

│b-c│＜a＜b＋c,①

即三角形任意一边小于其余两边之和,大于其余两边之差．

我们对①类比：是否有

存在呢?如果②存在,那么就发现了如下命题(例4)．

2．联想与解题

例5a,b为两个不相等且都不为零的数,同时有

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a＋pa＋q=0,b+pb＋q=0