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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第26讲含参数的一元二次方程的整

数根问题

第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题

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对于一元二次方程ax＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别Δ=b-

4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有

整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,

当然,经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方

法．

例1m是什么整数时,方程

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(m-1)x-6(3m-1)x＋72＝0

有两个不相等的正整数根．

22

解法1首先,m-1≠0,m≠±1．Δ=36(m-3)＞0,所以m≠3．用求根公

可得

由于x,x是正整数,所以

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m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,

解得m=2．这时x=6,x=4．

12

2

解法2首先,m-1≠0,m≠±1．设两个不相等的正整数根为x,x,则由根

12

与系数的关系知

2

所以m-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即

2

m＝3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73,

2

只有m=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5．

经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．

说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利

用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是这样做

的．有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解

法2就是如此,这些都是最自然的做法．

例2已知关于x的方程

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ax-(3a-8a)x＋2a-13a＋15=0

(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值．

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数根问题

分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根,另一种

是一个是整数根,一个不是整数根．我们也可以像上题一样,把它的两个

根解出来．

解因为a≠0,所以

所以

所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5．

例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程

2

mx-(m-1)x＋1＝0

有有理根,求m的值．

解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方

数．令