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高级中学名校试卷
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江西省九江市2022-2023学年高一下学期第二次阶段性模拟
期末数学试题
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.)
1.已知,其中为的共轭复数,则复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
〖答案〗A
〖解析〗因为,所以,
所以,所以复数在复平面上的对应点的坐标为,
该点位于第一象限.
故选:A.
2.计算()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由两角差的正弦公式可得:
.
故选:C.
3.在空间中,下列说法正确的是()
A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直
C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
〖答案〗D
〖解析〗垂直于同一直线的两条直线的位置关系有:平行、相交和异面,A、B不正确;
平行于同一平面的两条直线的位置关系有:平行、相交和异面,C不正确;
根据线面垂直的性质可知:D正确.
故选:D.
4.已知,若与的夹角为120°,则在上的投影向量为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗,
在上的投影向量为.
故选:C.
5.在中,分别根据下列条件解三角形,其中有唯一解的是()
A. B.
C. D.
〖答案〗B
〖解析〗A:由,则,而,无解;
B:由,则,而,有唯一解;
C:由,则,而,有两解;
D:由,则,而,有两解.
故选:B.
6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度,得到函数的图象,则()
A. B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗根据题意分析得:,
所以,
又函数与函数为同一函数,
,,得.
故选:A.
7.已知正三棱台的上、下底面面积分别为,若,则该正三棱台的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗若正三角形的边长为,则其面积为,
由题意可得:,
取的外接圆的圆心为,正三棱台的外接球的球心,
连接,过作底面的投影,
可得,则,
由,可得,
设外接球的半径为,则,
可得,解得,
所以该正三棱台的外接球的表面积.
故选:D.
8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题:怎样在一个三角形中求一点,使它到每个顶点的距离之和最小?现已证明:在中,若三个内角均小于,当点满足时,则点到三角形三个顶点的距离之和最小,点被人们称为费马点.根据以上性质,已知为平面内任意一个向量,和是平面内两个互相垂直的向量,,则的最小值是()
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗设,,,
则,
即为点到和点三个点的距离之和,
则△ABC为等腰三角形,
如图,
由费马点的性质可得:点P在三角形内部且在y轴上,要保证∠APB=120°,
则∠APO=60°,因为OA=1,则,所以点坐标为时,距离之和最小,
最小距离之和为.
故选:B.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题意.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.下列各式的值为的是()
A. B.
C. D.
〖答案〗AD
〖解析〗对于A:
,故A正确;
对于B:,故B错误;
对于C:因为,所以,
解得或(舍去),
所以,故C错误;
对于D:,故D正确.
故选:AD.
10.若函数,则该函数()
A.最小值为 B.最大值为 C.在上是减函数 D.奇函数
〖答案〗AC
〖解析〗,
选项A:当时,函数取得最小值,判断正确;
选项B:当时,函数取得最大值,判断错误;
选项C:在上单调递减,在上单调递减,
则函数在上是减函数,判断正确;
选项D:由,
可得函数为偶函数,判断错误.
故选:AC.
11.已知函数,下列说法中正确的有()
A.若,则在上是单调增函数
B.若,则正整数的最小值为2
C.若,把函数的图像向右平移个单位长度得到的图像,则为奇函数
D.若上有且仅有3个零点,则
〖答案〗ABD
〖解析〗依题意,,
对于A,,,
当时,有,则在上单调递增,
所以在上单调递增,故A正确;
对于B,因,则是函数图像的一条对称轴,
,整理得,
而,即有,,故B正确;
对于C,,,
依题意,函数,
这个函数不是奇函数,其图像关于原点不对称,故C不正确;
对于D,当时,,
依题意,,解得,故D正确.
故选:ABD.
12.如图,在长方体中,,点是棱上的一个动点,给出下列命题,其中真命题的是()
A.不存在点,使得
B.三棱锥的体积恒为定值
C.
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