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等比数列及前n项和
例1:在等比数列中,那么〔〕.
A.-4B.4C.-2D.2
例2:在等比数列中,,,,那么项数为〔〕
A.3B.4C.5 D.6
例3:数列为等比数列,,,那么及的值分别为()
A.B.C.D.
例4:是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为〔〕
①也是等比数列②()也是等比数列
③也是等比数列④也是等比数列
A.4 B.3 C.2 D.1
3、等比中项:假设,,成等比数列,那么叫与的等比中项,即
性质:假设,那么____________;特别的假设,那么__________
例5:两个数分别为和,那么这两个数的等比中项为〔〕
A.B.C.D.不存在
例6:等比数列中,,那么此数列前17项之积为〔〕
A.B.C.D.
例7:等差数列的公差为2,假设成等比数列,那么=〔〕
A.–4B.–6C.–8D.–10
4、前项和公式〔求和时注意考虑公比是否等于1的情况〕
例8:试求数列···,的前项和。
5、等比数列的性质
〔1〕等比数列的通项可以推广为:,公比
〔2〕等比数列中每隔项取出一项,按原来的顺序排成一个新数列,那么该数列仍为等比数列,公比为.如······仍成等比,公比为_____________。
〔3〕假设数列是两个项数相同的等比数列,那么数列和〔其中是非零常数〕也是等比数列。
〔4〕假设数列的项数为,那么;假设项数为,那么
【题型分析】
题型一、等比数列的判定与证明:
定义法:假设〔为非零常数,〕或〔为非零
常数,且〕,那么是等比数列。
〔2〕等比中项法:假设数列中,,,且,那么
数列是等比数列。
〔3〕通项公式法:假设数列的通项公式可写成〔均为不为
0的常数,〕,那么是等比数列。
〔4〕前项和公式法:假设数列的前项和〔为常数且
不为0,〕那么是等比数列。
思考:假设数列的前项和为,数列是等比数列吗?
例1:数列的前项和.
〔1〕求证:数列是等比数列;〔2〕求的通项公式.
变式训练1:设的前项和为,假设,求证:数列是等比数列.
变式训练2:设数列的前项和为,.
设,证明数列是等比数列;
求数列的通项公式.
题型二、等比数列根本量的运算
【提示】在等比数列的通项公式和前项和公式中,一共涉及五
个量,一般可以“知三求二”,通过列方程组求解。在进行等比数列的根本量
运算时,要恰当运用等比数列的性质,这样可以简化运算,提高效率。
例2、在等比数列中,,,求及.
例3:等比数列中,=8,求及
变式训练1:等比数列的前项和为,成等差数列。
〔1〕求的公比;(2)假设,求。
变式训练2:有四个正数,前三个数成等差数列,其和为48,后三个数成等
比数列,其最后一个数为25,求此四个数。
题型三、等比数列性质的应用
例4:等比数列的各项为正数,且,那么
等于〔〕
A.12B.10C.8D.2+
例5:数列为等比数列,假设,且,那么的值是___________.
例6:等比数列共有项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,那么公比=__________.
变式训练1:等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,那么=____________.
变式训练2:项数为偶数的等比数列的首项为1,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,那么此数列的公比=_________,项数=__________.
题型四、等比数列的综合问题
例7:数列中,,,且数列是公差为-1的等差数列,其中.数列是公比为的等比数列,其中,求数列的通项公式及它的前项和.
例8:在等比数列中,,公比,且,又的等比中项为2,,数列的前项和为,那么当最大时,求的值
【拓展提升】
数列的前项和(,,为非零常数),那么数列为()
A.等差数列B.等比数列
C.既不是等比数列也不是等差数列
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