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第二章等式与不等式(压轴题专练)
题型一:一元二次方程根与系数的关系
和一元二次方程②:
1.(23-24高一·全国·单元测试)已知关于x的分式方程①:
k-1=2
(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0,其中k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程②有两个整数根x?、x?,且k为整数,k=m+2,n=1,求方程②的整数根;
是否成立?请说明理由.
【答案】(1)[-1.1]u(1,2)u(2,+oo)
(2)答案见解析
(3)成立,理由见解析
【分析】(1)解出方程①的根,根据根的范围即可求出k的范围;
(2)将k和n代入方程,方程的根为整数,得两根之和与两根之积均为整数,然后用枚举法即可求解;
(3)根据k是负整数,结合(1)中k的范围即可确定k的取值,化简方程,将题设方程化为韦达定理形式求解
【详解】(1)因为关于x的分式方程的根为非负数,所以x≥0且x≠1.由方程①得则
k-1=2x=2,
或m0.
△=(-3m)2-4m(m-1)=m(5m+4)≥0.解得m≤-号
因为x、x?是整数,k、m也是整数,所以为整数,所以m=±1.
x+x?=3,xx=m-1=1-1
把m=1代入方程③,得x2-3x=0,解得x=0,x?=3;
把m=-1代入方程③,得-x2+3x-2=0,解得x=1,x?=2.
综上,当m=1时,方程②的整数根为0,3;
当m=-1时,方程②的整数根为1,2。
(3)m≤2成立.
理由:由(1)及k是负整数,得k=-1,即方程②:3x2+3mx+4n=0.
又方程②有两个实数根x?、x?,则△=(3m)2-4×3×4n≥0,整理得
m2-16n.
由韦达定理得x+x?=-m,xx=4n.
再整理得m2=4n+1,所以即m2≤4,
得(-m2-3×4n-1=0,4n+1≥1gn,,则m2≤4×3+1,
,解得ns3,
所以m≤2成立.
(1)x,x?均为正根,求实数m的取值范围;
(2)若x,x?满足:x?+x?=xx?,求实数m的值.
【答案】0?sms25
(2)m=-3
【分析】结合韦达定理列出式子,即可求;
【详解】(1)由x,x?均为正根,得
解得即≤m≤25
(2)由(1)得,解得m=1(舍去)或
5m-5m=-3,
则m=-3
(1)若a=b=1,c0,求|x|+|x?|的值;
(2)若b+c=0,ab0,用反证法证明x?,x?中至少有一个大于等于2;
值范围.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)(-00,-2)U[2,+00)
设x?,x?都小于2,结合已知条件和韦达定理可得x?和x?同号,且再结合x和x?的范围推出矛
☆+1=1
盾即可证明;(3)首先利用判别式求出x?+x?的范围,然后结合已知条件并利用韦达定理求解即可.
【详解】(1)当a=b=1,c0时,x2+x+c=0的两个实根为x,x?,
由韦达定理可得,x+x?=-10,x?x?=c0,
即x?0,x?0,
故x|+|x|=-x-x?=-(x+x?)=1.
(2)证明:假设x?,x?都小于2,
由b+c=0,ab0可知,c=-b,且a与b异号,
由韦达定理可知,则x?与x?同正,
x+x=-a0,xx=S=-a0,
此时x+x?
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